Qué necesitamos Axioma de Elección para realizar infinitas opciones a partir de un conjunto?

Question

De acuerdo a las respuestas a esta pregunta, no tenemos opción de elegir entre un producto finito de conjuntos no vacíos, incluso si cada uno de los conjuntos infinitos. El axioma de elección es necesaria para asegurar que un producto infinito de conjuntos no vacíos es no vacío. es decir,$\prod_{i \in I} A_i \neq 0$.

Ahora, vamos a $A_i = \mathbb{R}$. Las respuestas a esta pregunta (y la enlazado más arriba) dice que no tenemos opción de elegir un elemento $x_0 \in \mathbb{R}$. Supongamos, quiero una secuencia arbitraria de números reales $X = (x_n)_{n =1}^{\infty}$. A continuación, voy a tener que hacer un número infinito de "picks" de $\mathbb{R}$.

Es correcto decir que la secuencia resultante, $X \in \prod_{i \in I} \mathbb{R}$ y que necesitamos opción para asegurarse de que existe? Por qué o por qué no?

Answer 1

No. Usted puede simplemente recoger $x_i=42$ todos los $i\in I$.

Answer 2

Usted necesita para ir a los números racionales, con el fin de garantizar que toda ecuación de la forma $nx=m$ tiene una solución con $m,n$ números naturales. Significa eso que no hay soluciones, la elección de la $n,m$$\Bbb N$?

No, No es así. $4x=8$ todavía tiene una solución en $\Bbb N$.

De igual manera, con el axioma de elección. Esto es necesario para asegurar que cada producto de la no-vacía de conjuntos no vacíos. Esto no significa que es necesaria para la comprobación de cada uno de los productos de la no-vacía de conjuntos no vacíos, aunque.

Si todos los conjuntos que elegir son los mismos, entonces la constante opciones son opciones que siempre se puede hacer. Si todos los conjuntos que usted elija tiene una estructura particular en todos ellos (por ejemplo, todos ellos son finitos conjuntos de números reales), entonces usted puede elegir de todos ellos (por ejemplo, todos ellos son finitos conjuntos de números reales, tomar el mínimo elemento).

El axioma de elección está siendo abusado, y en muchos casos no es necesario para un argumento concreto de interés. No digo que nunca es necesaria, o que rara vez es necesario. Se pone abusado mucho. Y que pueden ser peligrosas (véase el tercer panel).

Answer 3

Como Hagen señala en su respuesta, no siempre es necesario. A veces, cuando los conjuntos involucrados son especialmente agradable, usted puede simplemente escribir un elemento en el producto (como Hagen ha hecho). Sin embargo esto no es siempre posible.

La mejor manera que he escuchado de este puesto es la siguiente (creo que es debido a Hilbert, pero no estoy seguro), la idea de que es como sigue.

Si usted tiene un número infinito de pares de zapatos, entonces usted no necesita utilizar elección. Sólo puede elegir el zapato izquierdo de cada par y tiene su conjunto. Sin embargo, si usted tiene un número infinito de pares de calcetines, entonces usted no necesita elección (no se puede decir coger el calcetín izquierdo porque no hay manera de diferenciar entre ellos).

Para reiterar, en la presencia de bastante agradable conjuntos, podría tener alguna forma de canonical "elección" que hace de CA redundante. Sin embargo, en la presencia de arbitraria de conjuntos usted necesita para invocar CA.

EDIT: al Parecer el dicho es debido a Russel y no Hilbert.

Answer 4

Resumen: la lógica de Primer orden no permite infinitamente larga declaraciones. Infinitary lógicas hacer.

Para elaborar un poco más sobre Danul G respuesta: Si se puede escribir una longitud finita receta de cómo seleccionar cada elemento de una colección, entonces usted no necesita elección. Si, sin embargo, usted tendría una longitud infinita receta, a continuación, la receta no sería válida.

Hagen von Eitzen ha proporcionado un ejemplo de un número finito de la prescripción que se selecciona un elemento de cada uno de una colección de copias de un conjunto que contiene un elemento "42".

Parte de la diferencia es que estamos en un "nombre de pila" con todos los elementos de a $\mathbb{R}$. (En realidad, nosotros no. Sólo podríamos decir que para el computables, y yo, al menos, sólo conocen algunos delgada subconjunto de incluso esta mucho más pequeño set). Fácilmente podemos llamarlas por su nombre y cada uno de los distintos pares de ellas es, obviamente, distinguible. (Incluso esto requiere una advertencia: el problema de la identificación de los computable expresiones equivalentes a cero es indecidible. Meh.) En este sentido, los números reales son una colección de zapatos -- distinguibles de los elementos.

Supongamos que en lugar de eso le dio a usted un producto de "una colección infinita de conjuntos (acerca de lo que voy a decirte nada más que cada una de ellas es no vacío)". Entonces usted no conoce a ninguno de los elementos por su nombre -- todos ellos son indistinguibles, como calcetines (antes de usarlos y de forma asimétrica tramo ellos). Usted no puede escribir una receta finito (o lo contrario) de que elige un elemento de cada conjunto. Usted puede escribir el lenguaje natural de la frase "$f$ elige un elemento de cada conjunto", pero en la formalización de esa descripción no vas a encontrar un número finito de prescripción. Usted obtendrá "$f$ elige un elemento del primer conjunto, a continuación, $f$ elige un elemento del segundo conjunto, ..." donde "..." implica un infinitamente larga de la prescripción. De primer orden de la lógica (y cualquier otro finitary lógica) no permite infinitamente larga declaraciones. A menos que añadir un axioma que dice que podemos. El Axioma de Elección permite que este exacta de la construcción que estamos discutiendo, pero no (directamente) introducir cualquier otro infinitary construcciones.

Answer 5

El Axioma de Elección afirma que los productos de las colecciones infinitas de la no-vacía de conjuntos existen. Por lo que sólo es necesario cuando se desea simultáneamente elegir un elemento de cada uno de una colección infinita de no vacía de conjuntos, es decir, seleccionar un elemento del producto. Eso es todo. Usted no necesita el Axioma de Elección para elegir un elemento de un conjunto infinito, o elegir de un número infinito de elementos de un conjunto único, o para realizar cualquier operación sobre un conjunto finito de conjuntos.

Edit: Cualquier función X -> Y es un subconjunto de XxY. Por otra parte, si X e y son conjuntos, incluso conjuntos infinitos, entonces también lo son XxY y cualquier subconjunto de XxY. Así que todas las funciones entre conjuntos bien definidos los conjuntos, y el Axioma de Elección no es necesario para su definición. En particular, a partir de una secuencia infinita es una función de los naturales en un conjunto, la definición de una secuencia infinita no requiere el Axioma de Elección.