¿Por qué $e$ ¿tiene varias definiciones?

Question

El número $e$ parece tener múltiples definiciones:

$$\lim \limits_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$$

El número único $a$ tal que $\int_1^a\frac{1}{x} \, dx = 1$

El número único $a$ tal que $\frac{d}{dx}a^x=a^x$

La base del logaritmo natural

Esto siempre me parece extraño. ¿Por qué? ¿Por qué no hay una definición "consensuada" y todas las demás definiciones son teoremas? Algunas de las "definiciones" de $e$ son teoremas que deben demostrarse si se utiliza otra definición de $e$ . Esto puede hacer que buscar la prueba de algo que implique $e$ o $e^x$ confuso y posiblemente fomente el razonamiento circular.

Answer 1

Análogamente, hay varias formas de definirme:

1. Yo soy el ciudadano de EE.UU. con número de seguridad social [XYZ]. Esto es de interés primordial para el gobierno.

2. Yo soy el hijo mayor de [nombre de mi madre]. Esto es de interés primordial para mi familia.

3. Yo soy el profesor de [curso concreto que se imparte en días/horas concretos] en [universidad]. Esto es de interés primordial para los estudiantes de esa clase.

4. Yo soy el autor de [una tesis de máster concreta]. Esto es (quizá) de interés primordial para mi director de tesis.

De la lista anterior, ¿cuál es "la definición correcta" de mí?

Como ves, me relaciono con el mundo de multitud de formas muy concretas. Aunque algunas son bastante diferentes en su naturaleza, todas ellas me determinan de forma única, y distintas personas e instituciones piensan en mí principalmente de formas diferentes.

Del mismo modo, la constante $e$ se relaciona con diversos elementos de las matemáticas de muchas formas distintas, pero específicas. La definición utilizada puede variar en función de la función $e$ es satisfactoria en un contexto concreto, pero todas determinan de forma única la misma constante y todas son importantes por sus propias razones.

Answer 2

El número $e$ tiene muchas caracterizaciones.

La palabra "caracterización" tiene un significado preciso en matemáticas. Un ejercicio en un libro de texto puede decir:

(a) Demuestre que $X$ es enormemente púrpura pero no en gran parte púrpura.

(b) Demuestre que la propiedad de ser enormemente púrpura pero no mayoritariamente púrpura caracteriza a $X$ .

Se espera que el alumno comprenda la diferencia entre (a) y (b). Decir que la propiedad caracteriza $X$ significa que $X$ es el sólo cosa que tiene esa propiedad.

El número $e$ tiene muchas caracterizaciones además de las que mencionas. También la proporción áurea. También la $\pi$ . El concepto de "parábola" puede caracterizarse como (1) una determinada sección cónica; o (2) el lugar geométrico del punto equidistante del foco y la directriz; o (3) la curva que tiene una determinada propiedad reflectante; o (4) la gráfica de una función polinómica cuadrática; o cualquiera de otras formas.

Qué caracterización debe tomarse como "definición" depende del contexto. Y, por desgracia, los matemáticos nunca han reunido sus ideas sobre la naturaleza precisa de esa dependencia del mismo modo que lo han hecho sobre cuestiones de lógica deductiva.

Answer 3

Respuesta 1: pedagogía.

Se elige una definición porque encaja en la historia que el autor quiere escribir. Un autor puede considerar que una definición determinada encaja perfectamente en su historia; por ejemplo, un autor puede preferir empezar por la sencillez y elegancia de la manipulación de integrales, otro puede querer hablar de la resolución de ecuaciones diferenciales, y otro autor puede querer empezar a hablar de $e^x$ temprano, por lo que prefiere el uno en términos de límite.

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Respuesta 2: son constantes "diferentes", y es un teorema ingenioso que todas resultan ser iguales.

Answer 4

Déjeme explicarle su situación. Mire las siguientes definiciones equivalentes de $1$ :

1. El único número real $x$ que satisfaga $\int\limits_{0}^{x} y \,\text{d}y = \frac{1}{2}$ .

2. La suma de las series $\sum\limits_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n(n-1)}$ .

3. El menor número real no negativo que satisface la ecuación $\cos (\pi x) = -1$ .

Answer 5

Sobre la primera parte de su pregunta:
No hay necesidad de una definición "consensuada", si se tiene el escenario dado.
Puedes elegir cualquier definición para empezar y luego demostrar tu camino a través de los teoremas que establecen la igualdad a los demás.

Por ejemplo, tomemos dos personas, la persona 1 ( p1 ) y la persona 2 ( p2 ).
Además, supongamos que p1 define $e$ mediante definición A y que p2 define $e$ mediante definición B .

Entonces p1 puede demostrar un teorema que afirma que $e$ definido mediante la definición A es igual a $e$ definido mediante la definición B / tiene la propiedad definitoria y única utilizada en la definición B .
Así que p1 puede empezar a demostrar los mismos teoremas sobre "su $e$ (definido como en la definición A ) como p2 sobre "su $e$ (definido mediante B ) y viceversa.
Así que, aunque estrictamente formal, p1 y p2 están hablando de diferentes $e$ 's, desde un punto de vista epistemológico, no hay diferencia:
Cualquier teorema que utilice propiedades de (cualquiera) $e$ son válidas en las dos "ramas" de las matemáticas que p1 y p2 están construyendo utilizando diferentes definiciones (suponiendo que hasta elegir diferentes definiciones de $e$ , p1 y p2 pasó por las matemáticas con el igual no perjudica mi argumento aquí).

Sobre la segunda parte de su pregunta:
En sentido estricto, sólo se puede definir un término una vez en el camino de las matemáticas. Definir es simplemente dar un significado inicial a algo:

En matemáticas, una definición sirve para dar un significado preciso a una nuevo en lugar de describir un término preexistente.

(citado de Wikipedia con la libertad de poner en negrita la palabra "nuevo")

Así que para simplificar... ya que no puede haber otra definición de $e$ además de aquella por la que has optado en tu camino educativo/epistemológico a través de las matemáticas, las otras definiciones opcionales entre las que podrías elegir inicialmente pueden convertirse, como mucho, en afirmaciones sobre "tu $e$ que tienen que ser probados - y si los has probado, se han convertido en teoremas/corolarios etc. sobre 'tu' $e$ .