La evaluación de $\lim_{x\to0}\frac{1-\cos(x)}{x}$

Question

$$\lim_{x\to0}\frac{1-\cos(x)}{x}$$

Podría alguien ayudarme con este trigonométricas límite? Estoy tratando de evaluar sin la regla de L'Hôpital y derivación.

Answer 1

Sugerencia: Multiplique la parte superior e inferior por $1+\cos x$. A continuación, utilice probablemente un hecho conocido acerca de $\dfrac{\sin x}{x}$.

Answer 2

$\displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{1-\cos x}{x}= \lim_{x\to 0} \frac{(1-\cos x)(1+\cos x)}{ x(1+\cos x)}=\lim_{x\to 0} \displaystyle\frac{(1-\cos^2 x)}{ x(1+\cos x)}=\lim_{x\to 0} \frac{\sin^2 x}{ x(1+\cos x)}=\lim_{x\to 0} \frac{x\sin^2 x}{ x^2(1+\cos x)}=\lim_{x\to 0} \displaystyle\frac{\sin^2 x}{ x^2}\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{x}{1+\cos x}=1\times 0=0 $

O simplemente aplicar la regla de L'Hospital y $$\displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{1-\cos x}{x}=\displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{(1-\cos x)'}{x'}=\displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{1}=0$$

Answer 3

Como método alternativo, $\cos x=1+ O(x^2)$. A continuación, $$O(x^2)/x= O(x)$$

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Edit: La notación $f(x)=O(g(x))$ significa que $f(x)/g(x)$ está delimitado por una constante (en el límite). Sencillamente, esto significa $f$ no es mayor que $g$ en el límite.

Esta respuesta, básicamente, se basa en la expansión de Taylor de que el numerador. Típicamente, este es el camino más rápido para llegar a la respuesta con este tipo de límites.

Por ejemplo, la regla de l'Hôpital es porque si $f(0)=g(0)=0$ para las funciones que se puede aproximar a un poco de orden por una serie de Taylor, a continuación, $f(x)/g(x)= (x f'(0)+O(x^2))/(xg'(0)+O(x^2))$ y se puede cancelar la $x$s.

Answer 4

$$\lim_{x\to0}\frac{1-\cos(x)}{x}$$ $$\lim_{x\to0}\frac{1-(1-2\sin^2 \dfrac x2)}{x}$$ $$\lim_{x\to0}\frac{2\sin^2\dfrac x2}{x}$$ $$\lim_{x\to0}\frac{2x\sin^2\dfrac x2}{4\left(\dfrac x2\right)^2}$$ $$\lim_{x\to0}\frac{x}{2}\cdot \lim_{x\to0}\left(\dfrac{\sin \dfrac x2}{\dfrac x2}\right)^2$$ $$0\cdot 1$$ $$0$$

Answer 5

Escribir $$\frac{1-\cos x}{x} = \frac{\cos 0 -\cos x }{x} = \frac{-2\sin\left( {0 + x \over 2}\right) \sin\left({0 -x \over 2}\right)}{x} = \frac{\sin^2(x/2)}{x/2}$$ y, a continuación,
$$ \lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x} = \lim_{x\to 0}\frac{\sin^2(x/2)}{x/2} = \lim_{x\to 0} \frac{\sin(x/2)}{x/2}\cdot \lim_{x\to 0}\sin (x/2) . $$