Sé que esto está conectado con el hecho de que los fermiones son representados por anticommuting operadores, pero todavía no puedo encontrar la forma de conseguir esta menos en reglas de Feynman.
Respuesta
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Es porque un fermión bucle con $N$ vértices a lo largo del bucle corresponde, hasta bosonic factores en todas partes (que nunca cambiar el signo y la mayoría se conmuta con todo lo demás), $$ D = \langle \psi_1^\dagger \psi_1\cdot \psi_2^\dagger \psi_2 \cdots \psi_N^\dagger \psi_N \rangle $$ donde cada uno de los productos de $\psi^\dagger \psi$ proviene de un vértice. Tenga en cuenta que los vértices son lo que produce la $\psi$ factores debido a que aparecen en la interacción de Hamilton. Sin embargo, en las reglas de Feynman, necesitamos revisualize el diagrama para que se compone de propagadores que son factores del tipo $\psi_1\psi_2^\dagger$ y así sucesivamente, de manera geométrica correspondiente a los vínculos entre los vértices. Podemos hacer de este formulario de manifiesto si nos movemos $\psi_1^\dagger$ hasta el final: $$ D = - \langle \psi_1\psi_2^\dagger\cdot \psi_2 \psi_3^\dagger \cdots \psi_N \psi_1^\dagger\rangle $$ En esta forma, tenemos un producto de $N$ agradable factores de $\psi_i \psi_{i+1}^\dagger$ que puede ser atribuido a los propagadores. Sin embargo, he tenido que añadir un signo menos porque necesitábamos para permutar Grassmann valores de $\psi_1$ a través de $2N-1$ otros fermionic operadores y $2N-1$ es impar. Por lo tanto tuve que corregir el signo por $(-1)^{2N-1}=-1$ para ambas expresiones son iguales.
Yo estaba un poco esquemático, así que no indican si he utilizado un operador de formalismo o el camino de Feynman enfoque integral. La lógica para que el signo es el mismo en ambas versiones. En el camino de Feynman integral del lenguaje, el $\psi$ objetos en la demostración anterior se Grassmann números, no los operadores, por lo que estrictamente anticommute el uno con el otro.
