Primalidad de los números en forma de $2n^2-1$

Question

Tengo una pregunta acerca de primalidad de los números enteros en forma de $2n^2-1$.

Puedo demostrar que para cierto tipo de n tales enteros son siempre compuestos. Por ejemplo, si $n=7k+2$ o $n=7k+5$, la expresión completa sería siempre divisible por $7$.

Lo mismo es aplicable a la totalidad (probablemente infinito) conjunto de números en forma de $n=ak+b$ donde $a$ es $7$, $17$, $23$ etc. y $b$ generalmente tiene dos valores (como $2$$5$$a=7$). ( $a$ , es el aquí y $b \le a-1$)

También sospecho que el único compuesto valores de $2n^2-1$ son aquellos cuyos factores son de ese conjunto de una (como $7$, $17$, $23$ etc.).

Estoy tratando de ver si hay algo más que puede decirse acerca de primalidad o compositness de los números de $n$. Hay otras formas de n que puede garantizar compositness (o primalidad)?

Agradecería cualquier idea.

Gracias!

Answer 1

Deje $n=ak+b$, como usted lo tiene. Supongamos que el primer $p|a$$2b^2\equiv 1\pmod{p}$. A continuación,$2n^2-1=2(ak+b)^2-1=a(2ak^2+4abk)+2b^2-1\equiv 0\pmod{p}$, lo $p|2n^2-1$ y, por tanto, $2n^2-1$ es compuesto.

Podemos probar si $2b^2\equiv 1$ mediante el uso de símbolos de Legendre. Tal $b$ existe (de hecho, dos de existir) si $\left(\frac{1/2}{p}\right)=1$. Multiplicamos ambos lados por $\left(\frac{2}{p}\right)$ conseguir $1=\left(\frac{1}{p}\right)=\left(\frac{2}{p}\right)$. Esto tiene soluciones si $p\equiv 1,7\pmod{8}$.

Ejemplo: Supongamos $a=51=3\times 17$. Desde $17\equiv 1\pmod{8}$, hay dos opciones para $b$ tal que $2b^2\equiv 1\pmod{17}$, es decir,$3,14$. Por lo tanto $n=51k+3$ $n=51k+14$ siempre estará compuesto por todos los $k$.

Answer 2

Tomar cualquier $a$ y considerar la posibilidad de $n_a=a\pmod{2a^2-1}.$ $2n_a^2-1=2a^2-1\pmod{2a^2-1}$ y se puede conseguir que la $2n_a^2-1$ es divisible por $2a^2-1.$ anterior lleva a la conclusión de que todos los números de la forma $2n_a^2-1$ $n_a>a$ son compuestos. En cuanto a si existe una infinidad de números primos de la forma $2n^2-1,$ creo que es un problema abierto.

Answer 3

$2n^2-1\leftarrow$ Parece Primos Mersenne. Usted puede tener los números de $n$ formulario $2^k$ tal que $2k+1$ no es un número primo.

$2(2)^{2k}-1=2^{2k+1}-1 \implies 2k+1=mj$, usted tiene $2n^2=(2^m)^j-1=(2^m-1)(2^{n-1}+2^{n-2}+ \dots 1) $, por lo tanto, usted necesita, tales $k$, lo que hace que $2k+1$ compuesto.

Cuando usted tiene primos de la forma $2k+1$, tiene un Mersenne prime(No siempre es cierto).