Usando congruencias espectáculo $\frac{1}{5}n^5 + \frac{1}{3}n^3 + \frac{7}{15}n$ se entero por cada $n$

Question

Usando congruencias, muestran que el siguiente es siempre un número entero para cada entero valor de $n$: $$\frac{1}{5}n^5 + \frac{1}{3}n^3 + \frac{7}{15}n.$$

Answer 1

Vamos a ver que $P(n)=3n^5+5n^3+7n$ es divisible por 15 por cada $n$. Para ello, vamos a mostrar que es divisible por $3$ $5$ por cada $n$.

Recordemos que para un primer $p$, $x^p\equiv x \pmod{p}$. (Fermat Poco Teorema) a Continuación, busca el modulo 5 vemos que $$P(n)\equiv 3n^5+7n\equiv 3n+7n=10n\equiv 0.$$ Ahora mirando modulo 3 vemos que $$P(n)\equiv 5n^3+7n\equiv 5n+7n=12n\equiv 0.$$ Thus $P(n)$ is divisible by 15 for every $$ n como se desee.

Answer 2

SUGERENCIA $\displaystyle\rm\quad \frac{n^5}5\: +\: \frac{n^3}3\: +\: \frac{7\:n}{15}\ =\ \frac{n^5-n}5\: +\: \frac{n^3-n}3\: +\: n\ \in \mathbb Z\ $ por Fermat Poco Teorema.