Lo que, precisamente, es la relación entre "campos de módulos" y "espacios de moduli"?

Question

La notación

El término "campo de módulos" viene en diferentes escenarios, pero vamos a considerar el siguiente: sea X->ℙ¹ ser un G-Galois de la cubierta, donde todo está en la algebraicas cierre de algunas de campo L. Suponga que X->ℙ¹ desciende (sin grupo de acción, como una tapa) a X_L->ℙ_L¹. Luego defino el campo de los módulos a ser la intersección de todos finito extensiones de L para los que cambio de base de X_L->ℙ_L¹ se convierte en G-Galois.

Pregunta

Existe el dicho de que el campo de los módulos es el campo de función de la (grueso?) espacio de moduli de cuando vamos a los puntos de ramificación variar. ¿Cuál es la precisa instrucción de que? (y por qué es esto cierto?)

Pensamientos

Podría parecer que se debe fijar un anillo de dedekind, cuyo cociente de campo es L (ℤ si L es ℚ), y D. para Luego descender a un modelo D de ℙ¹ (para un modelo D de X tome la integral de cierre de ℙ¹ en el campo de función de X). A continuación, hacer algo como mirar el espacio de moduli de todas las cubiertas de ℙ¹ con que el número de las (distintas) de puntos de ramificación, y en que se vea en la subscheme de todas las tapas que pueden ser alcanzados por cualquier deformación de las fibras de nuestro X_D->ℙ_D¹ (elegir una fibra que no hay coalescencia de los puntos de ramificación) por una familia. Pero hay mucha falta aquí, incluso en términos de hacer este preciso. Por ejemplo: hay un grueso espacio de moduli de todas las cubiertas con n puntos de ramificación más de ℙ_D¹ (donde n los puntos de ramificación, me refiero a n punto de ramificación en cada geométrico de la fibra)? ¿A qué se parece? ¿Por qué debería el campo de función de dicho subscheme a ser el campo de módulos?

Gracias de antemano.

Answer 1

Un par de respuestas a las distintas partes de la pregunta.

1. En mi experiencia, la frase "campo de módulos", por lo general no se refieren a la función de campo de un grueso espacio de moduli. Lugar: el cambio de base de la cubierta para Lbar corresponde a un punto de M(Lbar), donde M/L es el grueso del espacio de moduli. Este punto tiene una bien definida campo de la definición, que es, por definición, el campo de los módulos de la cubierta. La frase "campo de módulos" se utiliza generalmente en la distinción con el "campo de la definición de" -- si su cubierta está actualmente definida sobre L', entonces el campo de módulos es, sin duda contenida en L', pero no puede ser igual a L'. Este fenómeno no está restringido a Hurwitz espacios; hay abelian variedades más Qbar cuyo campo de módulos es Q (es decir, que se corresponden con los puntos de A_g(Q)), pero que no descienden a P. Esto sólo puede suceder cuando g es par. La parte superior de mi cabeza no recuerdo una referencia para un ejemplo, ni para la afirmación de la sentencia anterior; tal vez alguien me puede ayudar en los comentarios. Sin duda, cuando g=1 no tiene este problema: dado un número racional j, hay una curva elíptica E/Q j(E) = j. Pero puedes probar esto por escrito y hacia abajo ... no es completamente obvio "pensamiento puro" que debe ser así.

2. La descripción más completa de la Hurwitz pila (los módulos de la pila de finito cubre con fijo combinatoria invariantes) de sus asociados grueso espacio de moduli, etc., es en el Tel. D. tesis de Stefan Wewers, que lamentablemente no está disponible en línea. Sin embargo, la encuesta papel de Romagny y Wewers debe dar más de lo que usted necesita.

Answer 2

Lo que yo suelo ver campo de la llamada de los módulos es la siguiente. Supongamos $C$ es un miembro de una colección en el que se admite una gruesa espacio de moduli $M$ dicen definido a lo largo del $Q$. E. g. $C$ podría ser una curva o una $G$ de cobertura, como en tu ejemplo, y así sucesivamente. Por lo $C$ corresponde a un punto de $[C]$$M$. El campo generado por las coordenadas de $[C]$ es el campo de módulos de $C$. Pero en tu post, parece que puede ser que tome $C$ a ser un elemento genérico de su colección y lo que se obtiene como campo de módulos es $Q(M)$, el campo de función de $M$, pero que suena redundante para mí.

Si $C$, como en el anterior, se define sobre un campo $K$, $K$ contiene el campo de módulos de $C$ pero no siempre es cierto que $C$ puede ser definida sobre el campo de módulos.

Módulos de espacios de aminoácidos de tapas son generalmente llamados esquemas de Hurwitz. No sé las condiciones precisas para su existencia con la guardia baja.