De Lipschitz que llena el espacio de los mapas

Question

En primer lugar, algunos preliminares y el contexto.

Deje $f \colon [0,1]\to[0,1]^2$ ser un espacio de llenado de la curva. Si ponemos en $[0,1]$ $[0,1]^2$ la norma Euclidiana métrica inducida por $\mathbb{R}$ $\mathbb{R}^2$ respectivamente, es algo bien sabido que $f$ no puede ser de Lipschitz, porque Lipschitz mapas no aumentar la dimensión de Hausdorff, y tenemos $\dim_H([0,1])=1$ $\dim_H([0,1]^2)=2$ donde $\dim_H$ denota la dimensión de Hausdorff.

La esperanza de un mapa de Lipschitz que podemos poner a $[0,1]$ la métrica dada por $|\cdot|^{\frac12}$ donde $|\cdot|$ denota el nivel métrico. En este caso, ya que la dimensión de Hausdorff se basa en la métrica, tenemos $\widetilde{\dim}_H([0,1])=\dim_H([0,1]^2)=2$ donde $\widetilde{\dim}_H$ denota la dimensión de Hausdorff con respecto a la métrica de $|\cdot|^{\frac12}$$[0,1]$. Por lo tanto, es a priori, es posible encontrar un Lipschitz que llena el espacio de la curva de $f$. El hecho de que $\widetilde{\dim}_H([0,1])=2$ es un fácil cálculo utilizando el hecho de que $\dim_H([0,1])=1$.

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Yo debería ser capaz de demostrar, utilizando algunas buenas propiedades de diádica números que la curva de Hilbert es de hecho Lipschitz en este caso (con $L=1$). No podía extender este tipo de prueba para otras curvas que no tienen ninguna agradable diádica de la estructura, por ejemplo la curva de Peano. Yo podría intentar escribir la prueba, pero por el momento esto no es útil para el propósito de mi pregunta, así que voy a posponer hasta que alguien lo requiere.

Tengo dos preguntas:

1. ¿Alguien tiene una prueba de que el hecho de que un particular que llena el espacio de la curva es de Lipschitz en el sentido descrito arriba? Yo estaría feliz de ver a cualquier prueba, primaria o no.
2. Es cierto que cualquier espacio de llenado de la curva es de Lipschitz? Si sí, ¿por qué? Si no, hay un contraejemplo?

Estoy interesado en esto debido a que un mapa es un típico ejemplo de un mapa de Lipschitz que no tiene ningún biLipschitz pieza.

Cualquier comentario o respuesta parcial es muy bienvenida.

Answer 1

En primer lugar, la notación/terminología: Hablando de los mapas de Lipschitz con respecto a que no estándar métrica es una mala idea, simplemente porque no existe una simple y mucho más estándar manera de decir la misma cosa. Su función es Lipschitz con respecto a que gracioso métrica si $$|f(x)-f(y)|\le c|x-y|^{1/2}.$$ Esta es exactamente la definición de $$f\in \mathrm{Lip}_{1/2}.$$That $\mathrm{Labio}_{1/2}$ cosa es conocido como Titular de la clase.

Es todo espacio de llenado de la curva de $\mathrm{Lip}_{1/2}$? Por supuesto que no. Tonto contraejemplo: Decir $f:[0,1]\to[0,1]^2$ es surjective. Decir $g:[0,2]\to[0,1]^2$$g|_{[0,1]}=f$. A continuación, $g$ es que llena el espacio, y $g$ puede hacer lo que quiera en $[1,2]$.

Sí, la curva de Hilbert $f$$\mathrm{Lip}_{1/2}$. Esto se deduce de lo siguiente: Si $I=[j4^{-n},(j+1)4^{-n}]$$f(I)=[k2^{-n},(k+1)2^{-n}]\times[l2^{-n},(l+1)2^{-n}]$. Ahora si $x,y\in[0,1]$ $x,y\in I_1\cup I_2=[j4^{-n},(j+2)4^{-n}]$ donde $|x-y|\sim 4^{-n}$; desde $f(I_2)\cap f(I_2)\ne\emptyset$ el diámetro de $f(I_1\cup I_2)$ es de menos de $c2^{-n}$, y hay.

Sospecho que lo mismo se aplica a la curva de Peano, con $3$ $9$ en lugar de$2$$4$. No estoy seguro, no muy familiarizado con la construcción.