Soluciones enteras positivas de $a^{a^a}=b^b$

Question

¿Cuáles son todas las soluciones enteras positivas de $a^{a^a}=b^b$ ?

$(a,b)=(1,1)$ funciona. Si tomamos el registro en ambos lados, obtenemos $a^a\log a=b\log b$ que sigue siendo difícil de analizar. (Ayuda en ecuaciones como $a^b=b^a$ donde obtenemos $a/\log a=b/\log b$ .)

Answer 1

No hay otras soluciones.

Supongamos que $a$ y $b$ no son ambos $1$ . Claramente, debemos entonces tener $b > a > 1$ .

Desde $a$ y $b$ tienen potencias que son iguales, los exponentes de los primos que aparecen en sus factorizaciones primarias deben ser proporcionales. Esto demuestra que $a$ y $b$ son potencias de algún entero común $c > 1$ , digamos que $a = c^r$ y $b = c^s$ .

Sustituyendo esto en la relación dada, encontramos $c^{rc^r - s} = s/r$ . Esto demuestra que, o bien $s/r$ o $r/s$ debe ser un número entero, pero como $s > r$ De hecho, debe ser $s/r$ . Dejar $s/r = k$ tenemos que $b = a^k$ , donde $k > 1$ es un número entero.

Sustituyendo de nuevo en la ecuación original, encontramos $a^{a-k} = k$ . Desde $k > 1$ el exponente $a - k$ debe ser positivo. Pero esto tiene dos consecuencias contradictorias. Por un lado, $a > k$ . Pero por otro lado, $k = a^{a-k} \geq a^1 = a$ .

Por lo tanto, la única posibilidad es $a = b = 1$ .