Giro cobordism en un cohomology teoría

Question

Recientemente he terminado un semestre en topología diferencial (con Milnor de la Topología de la Diferenciable punto de vista) y mi primer semestre de la topología algebraica. Creo que entiendo Milnor de la definición de lo que significa para dos colectores para ser cobordant: a grandes rasgos, dos n-variedades son cobordant, si existe un (n+1)-colector de cuyo límite es distinto de la unión de los dos originales de n-variedades.

Mi pregunta es ¿cómo se hace a partir de esta definición a un cohomology teoría? No estoy exactamente seguro de que esta es la pregunta correcta, así que por favor, proporcione cualquier conocimiento se puede. Yo, ingenuamente, entender a los espectros y a Brown de representatividad, de manera que pueda responder en esos términos si quieres (estoy seguro de que estos conceptos tienen algo que ver con la respuesta, pero yo no puedo reconstruirla). La página de la wiki para el complejo cobordism puede tener la respuesta, pero de nuevo, yo no puedo descifrar.

Answer 1

Es un poco más fácil describir la homología de la teoría asociada con cobordism; digamos que no orientada cobordism aquí. Entonces uno tiene una homología de la teoría de la $MO_*$ tal forma que los elementos de $MO_*(X)$ puede ser descrito como una $n$-colector $M$, junto con un mapa $f: M \to X$ (esto de vivir en el grado $n$). Dos mapas de $f: M \to X, g: N \to X$ tiene la misma clase en $MO_*(X)$ si existe un colector con límite de $P$ de la dimensión de $n+1$, junto con un mapa $H: P \to X$ tal que $\partial P = M \sqcup N$ y las restricciones de $H$ $M, N$sólo $f, g$ respectivamente. De esta manera, usted puede construir una homología de la teoría de las formas en que los colectores de mapa a $X$.

Los asociados del espectro, por la Thom-Pontryagin de la construcción, es la de Thom espectro de $MO$ obtiene de la siguiente manera. Tome la clasificación de espacio $BO_n$ para el grupo ortogonal $O(n)$; en universal $n$-dimensiones del vector paquete de $\zeta_n$. La Thom espacio de $MO(n)$ $BO(n)$ ahora puede ser definido. Debido a la natural mapas $$BO(n) \to BO(n+1)$$ tirando hacia atrás de $\zeta_{n+1}$$\zeta_n \oplus 1$, se obtiene de los mapas $$MO(n) \wedge S^1 \to MO(n+1)$$ (debido a que $\zeta_n\oplus1$ ha Thom espacio de $MO(n) \wedge S^1$). De esta manera, se obtiene el espectro (que, como he definido, no es un $\Omega$-espectro, por lo que algunos llamarían un prespectrum) $MO$, lo que representa perdidos bordism.

Answer 2

Hay un fantástico conjunto de notas por Haynes Miller

Haynes Miller - Notas sobre Cobordism

a partir de 1994 clase, que los detalles de este y, probablemente, mucho más de lo que queremos saber! En particular, las primeras 15 páginas o para mostrar la relación entre bordism y el espectro de $MO$.

También está el clásico - "Notas sobre la Cobordism Teoría' por Sting, pero definitivamente, me gustaría empezar con Haynes Miller notas.

Answer 3

La relación entre cobordism y generalizada cohomology fue revelado por primera vez por Atiyah, en su papel Bordism y cobordism (Proc. Camb. Phil. Soc. 57, 200-208 (1961))