$M_1 \to M_2 \to M_3 \to 0$ exacto si $0 \to \text{Hom}_A(M_3, N) \to \text{Hom}_A(M_2, N) \to \text{Hom}_A(M_1, N)$ es exacta.

Question

Sea $M_1 \to M_2 \to M_3 \to 0$ sea una secuencia de homomorfismos de $A$ -módulos. Esta secuencia es exacta si y sólo si la secuencia inducida de grupos abelianos $$0 \to \text{Hom}_A(M_3, N) \to \text{Hom}_A(M_2, N) \to \text{Hom}_A(M_1, N)$$ es exacta para cada $A$ -módulo $N$ ?

Answer 1

Sí, y la prueba es más o menos así:

Sea $$M_1 \xrightarrow{g} M_2 \xrightarrow{f} M_3 \rightarrow 0$$ sea tu secuencia con las funciones escritas encima de las flechas.

En primer lugar, supongamos que la secuencia $$0 \rightarrow Hom_A(M_3, N) \xrightarrow{\bar{f}} Hom_A(M_2, N) \xrightarrow{\bar{g}} Hom_A(M_1, N)$$ es exacta para todo $N$ . Sabemos por las condiciones para que una secuencia corta sea exacta, $\bar{f}$ es inyectiva para todo $N$ lo que a su vez implica que $f$ es suryectiva.

Además, sabemos que $\bar{g} \circ \bar{f} = 0$ (a partir de la definición de secuencias exactas). Pues bien, esto implica que para cualquier $h: M_3 \to N$ tenemos $f \circ g \circ h = 0$ . A continuación, tomamos $N = M_3$ Así que $f: M_3 \to M_3$ (podemos hacerlo porque N es arbitrario). Dejemos que este mapa sea simplemente el mapa de identidad, y entonces tenemos $$f \circ g = 0$$ es decir $Im(g) \subseteq ker(f)$ .

Ahora dejemos que $N=M_2/Im(g)$ donde $Im(g)$ es la imagen de $M_1$ en $M_2$ y que $\phi: M_2 \to N$ sea el homomorfismo de proyección. Entonces $\phi \in ker(\bar{g})$ y así $\exists$ $\psi: M_3 \to N$ s.t. $\phi = \psi \circ f$ . Como resultado, esto nos dice que $Im(g) = ker(\phi) \supseteq ker(f)$ y así a partir de las dos contenciones tenemos $$Im(g) = ker(f)$$ y por tanto la secuencia $$M_1 \xrightarrow{g} M_2 \xrightarrow{f} M_3 \rightarrow 0$$ es exacta.

La inversa sigue la misma línea, en realidad se trata de "darle la vuelta" al argumento anterior. Le dejo los detalles.