Por qué 1728 en $j$-invariante?

Question

El $j$-invariante para curvas elípticas tiene un $1728$. De acuerdo a Hartshorne, esto es supuestamente para la característica -$2$ $3$ razones, a pesar de las apariencias en contrario.

De hecho, es incomprensible por qué sería de gran ayuda en char $2$ $3$ cuando se atenuaría.

Para que la materia, las funciones $g_2$, $g_3$ y $\Delta$ también tienen estas constantes. Hay una `buena razón" por la que estas cosas existen, aparte de las razones históricas? Y por qué se mantienen en cuando se le pase abstracto de la geometría algebraica, cuando $1728$ sólo parece hacer daño?

Answer 1

De hecho, es incomprensible por qué sería de gran ayuda en char 2 y 3 cuando se atenuaría.

No se desvanecen, en carácter 2 o 3! En cambio, anula los coeficientes que haría lo contrario es imposible definir el $j$-invariante.

También, tenga en cuenta que el $j$-invariante no tiene un 1728: la 1728 sólo aparece en la fórmula específica para el $j$-invariante de una curva expresada en corto de Weierstrass forma.

En el carácter $2$$3$, no se puede escribir curvas elípticas en corto de Weierstrass forma!

Un instructivo ejercicio (esto me ayudó a) es tomar los formularios que necesita para utilizar en el carácter $2$ (o $3$), y utilizar el mismo formulario para expresar racional de curva elíptica. A continuación, se calcula el $j$-invariante (por ejemplo, mediante la conversión de la curva a corto forma de Weierstrass). Verás la $2$'s o $3$'s cancelar.

Answer 2

@user8268 comentario ofrece la esencia, permítanme añadir algún detalle. El $1728$ elimina un factor común de la $q$-potencia de la serie de coeficientes de la normalizado modular discriminante (con $q=\mathrm{e}^{2\pi\mathrm{i}\tau}$ $\tau$ el ratio del período), como en: $$\eta^{24}(\tau) = \Delta^*(\tau) = \frac{\operatorname{E}_4^3(\tau)-\operatorname{E}_6^2(\tau)}{1728} = \frac{g_2^3(1,\tau)-27\,g_3^2(1,\tau)}{(2\pi)^{12}}$$ donde $\eta$ es el Dedekind eta función y $\operatorname{E}_4$ $\operatorname{E}_6$ son las de Eisenstein de la serie normalizada a un límite de$1$$\Im\tau\to\infty$, $g_2(1,\tau) = \frac{4}{3}\pi^4\operatorname{E}_4(\tau)$$g_3(1,\tau)=\frac{8}{27}\pi^6\operatorname{E}_6(\tau)$.

En particular, la primera distinto de cero $q$-potencia de la serie coeficiente de la normalizado modular discriminante es $1$, y todos los coeficientes son números enteros. Dado que el $q$-potencia de la serie de coeficientes de $\operatorname{E}_4$ pasan a ser números enteros, también, una consecuencia de la normalización es que el $q$-potencia de la serie de coeficientes de $$j = \frac{\operatorname{E}_4^3}{\Delta^*} = \frac{1728\operatorname{E}_4^3}{\operatorname{E}_4^3-\operatorname{E}_6^2} = \frac{1728 g_2^3}{g_2^3-27g_3^2}$$ son enteros así.