Suma y Divisibilidad de Puzzle

Question

He a $5$ enteros positivos: $a,b,c,d,e$.

$a,b,c,d,e$ son todos diferentes, y $a\mid b\mid c\mid d\mid e$, en otras palabras, las relaciones de $$\frac ba, \frac cb, \frac dc, \frac ed $$ son todos los números enteros.

$$a+b+c+d+e = 47.$$

Necesito saber lo $a,b,c,d,e$. Al parecer sólo hay una solución para esto.

Hice un poco de ensayo y error y se llegó a una respuesta de $1,2,4,8,32$. Pero realmente no tengo idea de cómo llegar a esta conclusión de manera más formal.

El problema viene a partir de una sección de mi libro, que habla de la descomposición en factores primos.

Puedo imaginar que la dirección en la que tengo que ir en busca en el hecho de que 47 es primo y que al agregar el primer factorizations de a,b,c,d,e me dará 47 en algunos de manera elegante.

Alguien puede proporcionar alguna dirección?

Answer 1

Desde $47$ es el primer y todas las variables debe ser divisible por $a$, uno debe tener $a=1$. Ahora $b+c+d+e=46=2\times23$, de los cuales, $b$ debe ser un divisor. No es difícil excluir $b\in\{23,46\}$ $b=1=a$ está prohibido, por lo $b=2$. Ahora $c+d+e=44=2\times2\times11$. De nuevo $c\geq11$ es fácil de descartar y $c\leq2$ está prohibido, por lo $c=4$. Uno se $d+e=40=2\times2\times2\times 5$. Desde $d$ debe ser un múltiplo de $c=4$,$d\in\{8,20,40\}$, de los cuales sólo el $d=8$ es factible. Esto deja a $e=32$.

Answer 2

El método más simple:

Convertir el número en binario.

$$47_{10}=(2^5+2^3+2^2+2^1+2^0)_{10}=101111_2$$

El paso intermedio que te da la respuesta.

$$47=32+8+4+2+1$$

Esto funciona porque cada dígito binario tiene exactamente dos veces el valor de la siguiente, y es por lo tanto, un múltiplo de cada dígito que sigue.

Si supongamos que el número binario dio menos/más de $5$, repita el proceso con cada número de la base, hasta llegar a un número con exactamente $5$, cualquier número de ceros, pero no los otros dígitos. Por ejemplo, $121_{10}=11111_3$, lo $121=81+27+9+3+1$.

He intentado por $47$, no hay otra solución. No estoy seguro de si existen números naturales con más de una solución, pero supongo que lo hacen.

Answer 3

Todos los números de ser diferente no implica que todos los coeficientes son, al menos, $2$ y el menor tamaño posible de la suma es $16+8+4+2+1=31$, sólo $16$ unidades de $47$.

Obviamente, $a=32$ de las revisiones, pero vamos a asegurarnos de que no hay otras soluciones, tratando de aumentar cada desconocido en turno, mientras que el ajuste de los anteriores con la derecha-a-izquierda duplicar (o triplicar o cuadruplicar... como sea necesario, pero esto no se presentan aquí):

$\color{green}{\underline{32}+8+4+2+1=47}$.

$24+\underline{12}+4+2+1=43$.

$32+\underline{16}+4+2+1>47$.

$24+12+\underline6+2+1=45$.

$32+16+\underline8+2+1>47$.

$24+12+6+\underline3+1=46$.

$32+16+8+\underline4+1>47$.

$32+16+8+4+\underline2>47$.

Answer 4

En primer lugar, si $a \geq 2$, luego tendrías $b \geq (2)(2) = 4$, e $c\geq (2)(4) = 8$, e $d\geq (2)(8) = 16$$e\geq (2)(16) = 32$, ya que cada uno de los "adyacente proporciones" debe tener al menos $2$. Pero, a continuación,$a + b + c + d + e \geq 62$, lo que no funciona. Por lo tanto $a = 1$.

A continuación, si $b = 3$, $b, c, d, e$ son todos divisibles por $3$, lo que significa que $a + b + c + d + e$ es congruente a $1$ modulo $3$, que no funciona desde $47$ es congruente a $2$ en lugar de $1$. También, si $b \geq 4$, $a+b+c+d+e > 47$ anterior. Por lo tanto, debemos tener $b = 2$, ya que el $b > a = 1$.

Ahora $c = bk = 2k$ algunos $k>1$. Si $c = (2)(3) = 6$, $a+b+c+d+e = 0$ mod $3$, lo que de nuevo no funciona, mientras que si $c \geq (2)(4) = 8$, $a+b+c+d+e > 47$ nuevo. Por lo tanto $c = (2)(2) = 4$.

En este punto tenemos $(a, b, c) = (1, 2, 4)$, lo $a+b+c=7$ y, por tanto,$d+e = 40$. También, $d = 4m$ $e = dn = 4mn$ para algunos enteros $m, n > 1$.

Por lo tanto $40 = 4m + 4mn = 4(m + mn)$, lo $10 = m + mn = m(1 +n)$. La única manera de escribir $10$ como el producto de dos enteros más grande que el $1$$10 = (2)(5)$, lo $m = 2$ $1+n = 5$ o$m=5$$1+n = 2$. La segunda posibilidad es eliminado, ya que implicaría $n=1$, por lo que llegamos a la conclusión de $m=2$$1+n=5$, lo $n=4$. Es decir,$d=8$$e=32$.

Answer 5

Nota: Esta respuesta fue compuesta cuando el estipulado entero proporciones se $a/b$, etc., en lugar de $b/a$, etc.

Escrito $a/b=A$, $b/c=B$, $c/d=C$, y $d/e=D$, tenemos

$$e(1+D(1+C(1+B(1+A))))=47$$

que, desde la $47$ es el primer y $1+D(1+etc.)$ es claramente mayor que $1$, implica $e=1$. Esto deja

$$D(1+C(1+B(1+A)))=46=2\cdot23$$

Desde $1+C(1+B(1+A))\ge1+(1+(1+1))=4$, llegamos a la conclusión de que $D=2$ (no igual $1$ desde $d\not=e$), lo que conduce a

$$C(1+B(1+A))=22=2\cdot11$$

De nuevo, $1+B(1+A))\ge1+(1+1)=3$, lo $C=2$, dejando

$$B(1+A)=10=2\cdot5$$

y esto implica $B=2$$A=4$. Desenrollar las cosas, obtenemos $e=1$, $d=2$, $c=4$, $b=8$, y $a=32$.