Tratando de envolver mi cabeza alrededor de todos estos diferentes espacios. Cuál es el más general? Se puede resumir las diferencias entre ellos? Hay un notable espacio de que me perdí?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Claramente, espacios vectoriales son la mayoría de la noción general de entre estos, ya que pueden ser definidas sobre cualquier terreno y de todos, de Banach, Hilbert y espacios de Sobolev son espacios vectoriales.
Los espacios de Banach sentido por encima de cualquier normativa de campo (por ejemplo, $\mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$). Sólo he encontrado Hilbert espacios, por encima de los reales o los complejos números hasta el momento. Cada espacio de Hilbert es un espacio de Banach y cada espacio de Banach es una normativa espacio vectorial.
Espacios de Sobolev son un poco más especiales. Son una clase de espacios de funciones, por lo general definido para abrir los subconjuntos de a $\mathbb{R}^n$ o, a veces, en los colectores. Espacios de Sobolev generalmente son espacios de Banach, pero pueden ser espacios de Hilbert (para el exponente $p = 2$).
Finalmente, se omite el importante las clases de localmente convexo espacios y Fréchet espacios entre muchas otras cosas. A excepción de espacios vectoriales todos los mencionados clases (Hausdorff) espacios vectoriales topológicos, pero no creo que valga la pena para disfrutar en nombre de caer. Sin más información acerca de su objetivo, es difícil decir qué tipo de respuesta que estás buscando. Yo recomiendo echar un vistazo a cualquier texto introductorio sobre el análisis funcional, donde la mayoría de estas clases de espacios se tocaron.
