No Convexo de Soluciones con 8 o más lados
Teorema: El tromino no puede ser acomodada por convexo baldosas de cada uno de los cuales tiene al menos 8 lados.
Prueba:el Aviso de que un convexo de baldosas puede tener en la mayoría de los dos lados verticales y en la mayoría de los dos lados horizontales. Observe también que los lados de la tromino lados son todos, ya sea vertical u horizontal. Ahora, vamos a suponer que hacia una contradicción que un convexo mosaico existe, donde todas las piezas tienen $8$ o más de sus lados. El foco en cualquier azulejo de la llamada es de $T$, así que podemos referirnos a ella más tarde. Ya que en la mayoría de los $4$ de sus lados, ya sea vertical u horizontal, de por lo menos $4$ de sus lados debe ser ni vertical ni horizontal, y por tanto debe cruzar el interior de la tromino. Ahora, observe que para cada lado, debe haber al menos uno de los otros azulejos adyacentes a $T$ compartir este lado. Pero todas estas fichas adyacentes deben ser distintos. De lo contrario, por la convexidad podríamos dibujar una línea a través del interior de $T$ que también está en el interior de una de las otras formas. Pero la distinción de estas formas implica que hay al menos $5$ azulejos en total, contradiciendo el hecho de que sólo estamos enfocados en $4$-apuntados.
Notas: creo que esta prueba puede ser enormemente fortalecido por alguien con inteligencia, paciencia y tiempo. Yo estaría encantado si alguien podía llevar a mis ideas.
No hay Convexo de Soluciones
Actualización: Como bien se señaló en los comentarios de abajo, esta prueba es de $\color{red}{\text{incorrecto}}$. No considera el caso donde un convexo verde de la región sigue siendo. Estoy desesperadamente de trabajo para la revisión de mi vergonzoso error. Os dejo este error, intento miserable en la esperanza de que pueda resurgir de las cenizas como el ave mítica, el ave fénix.
Teorema: El tromino no puede ser acomodada por convexa de las baldosas.
Prueba: Observe que el tromino es de $3$ plazas. Para simplificar, vamos a suponer que son la unidad de plazas. A continuación, todas las piezas se han de área $\frac34$. Ahora, mira el rectángulo en la esquina inferior derecha de la tromino de longitud $1$ y la amplitud de $\frac34$; llame a $R$. $R$ área $\frac34$, por lo que es un posible candidato para el suelo de baldosas. Pero puede ser fácilmente observado que ninguna de mosaico con $R$ es posible.
![Rectangular tile in the bottom right of the Tromino]()
Ahora, a mantener su enfoque en que la parte inferior derecha de la región cuya forma es de $R$. Porque no hay un mosaico con $R$, claramente debe haber un icono de cruzar el lado izquierdo de esta región - de lo contrario, la forma de la pieza sería de $R$. Tenga en cuenta que esta debe ocupar en cualquier suelo de baldosas. En el siguiente intento de plasmar esto en general, que es difícil, el uso de una elipse amarilla para representar el azulejo de cruzar la línea en la región de $R$:
![enter image description here]()
Ahora, suponiendo que los azulejos son convexos, el resto de la región $R$ es en mosaico es cóncava*. Así que no puede ser recubierta con una sola convexa de la baldosa. En menos de us $2$ debe ser utilizado. Pero aviso que el tromino es auto-similar. Así que todos los anteriores deben aplicarse también a la esquina superior izquierda. Lo que significa que en menos de $1 + 2 + 2 = 5$ baldosas serán necesarios, rompiendo la regla de que no son sólo $4$ azulejos.
*Tenga en cuenta que el caso especial donde el resto de la $R$ es convexa sólo puede ser satisfecho si este resto está desconectado del resto de la tromino. Pero, a continuación, el área sería de menos de $\frac34$, y así es imposible azulejo.
Me doy cuenta de que la convexidad puede ser un poco de una fuerte suposición, pero creo que hay ideas que se pueden llevar adelante. Si alguien quiere una prueba de la imposibilidad de un mosaico por $R$, por favor deje un comentario y lo añadiré.
