La extensión real de la analítica de la función para un complejo de la analítica de la función

Question

Acabo de enterarme que el real funciones analíticas (por real analítica, me refiero a las funciones de $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ que admite un local de la expansión en series de Taylor alrededor de cualquier punto de $p \in \mathbb{R}$), no puede extenderse a todo el complejo de la función siempre. Creo funciones con esta extensión de la propiedad se llama real de la totalidad de funciones en algunos libros, y una función que es real analítica, pero no es real todo es $f(x) = \frac{1}{1 + x^2}$. Claramente, con este ejemplo, el problema con la extensión que ocurre alrededor de las $\pm i$. Ver también este MSE post.

Mi pregunta es, ¿real de funciones analíticas que admitir extensiones a un complejo de la analítica de la función, incluso a nivel local? Es decir, dada una real analítica de la función $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, podemos encontrar un complejo analítica de la función $g : \Omega \to C$, de tal manera que $g|_\mathbb{R} = f$, e $\Omega$ contiene una tira de $\mathbb{R} \times (-\varepsilon, \varepsilon)$ en todo el eje real?

Answer 1

Sí, un verdadero analítica de la función en $\Bbb R$ se extiende localmente a un complejo de la analítica de la función, excepto que (en mi opinión) "local" no/no significan lo que dicen que hace.

Si $f$ es real analítica en $\Bbb R$ entonces existe un conjunto abierto $\Omega\subset\Bbb C$$\Bbb R\subset\Omega$, de tal manera que $f$ se extiende a una función compleja de la analítica en $\Omega$. Esto es fácil de demostrar - detalles a petición. Pero $f$ no necesita extenderse a un conjunto de $\Omega$ que contiene algunas tiras $\Bbb R\times(-\epsilon,\epsilon)$.

Por ejemplo, considere la posibilidad de $$f(t)=\sum_{n=1}^\infty a_n\frac{1}{n^2(n-t)^2+1},$$where $a_n>0$ tends to $0$ fast enough. The extension will have poles at $n+i/n$, so $\Omega$ no puede contener esa franja horizontal.

Answer 2

Realmente tenemos un local de extensión, dado por la expansión de Taylor. Es decir, dada $x_0\in\mathbb R$ existe $\epsilon>0$ tal que $$\sum_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(z-x_0)^n$$ converge para $|z-x_0|<\epsilon$, y que nosotros llamamos el límite de $g(z)$. Esto define una analítica de la función $g$ en un barrio de $\mathbb R$, lo que claramente se extiende $f$. (Necesitamos para comprobar que si $z$ está en el disco de convergencia de los dos puntos de $x_0$$\tilde x_0$, entonces la serie de arriba es igual a la misma serie con $x_0$ reemplazado por $\tilde x_0$, pero esto se desprende de la identidad teorema.)

Vale la pena señalar que el $\epsilon>0$ descrito anteriormente depende de $x_0$, y no necesariamente de existir $\epsilon$ independiente de $x_0$. Así que en general no podemos esperar que el vecindario sea de la forma $\mathbb R\times(-\epsilon,\epsilon)$.

Answer 3

Como David C. Ullrich y Jason señalado, la respuesta no es siempre afirmativa. Permítanme citar un Teorema que da un parcial de respuesta afirmativa a su pregunta, con un poco diferentes supuestos.

Teorema: Suponga que $f$ satisface la transformada de Fourier de la inversión de la fórmula, es decir, $f(x) = \int_{\mathbb{R}}\hat{f}(\xi)e^{2\pi x\xi}\,d\xi$ y que $$|\hat{f}(\xi)| \le Ae^{-2\pi a|\xi|}$$ for some constants $a,A > 0$. Then $f$ is the restriction to $\mathbb{R}$ of a function $f(z)$ holomorphic in the strip $S_b = \{z \in \mathbb{C}: |\text{Im}(z)| < b\}$, for any $0 < b <$.

Creo que este es un resultado interesante, ya que también se le dice cuánto usted puede empujar la $\epsilon$ es que usted pregunta. Usted puede encontrar una prueba de este teorema y más debates sobre la posibilidad de ampliar las funciones de la línea real a lo complejo-funciones analíticas en el Análisis Complejo por E. M. Stein y R. Shakarchi.