cálculo: $\int_{0}^{1}e^x(1-x)^{100}dx$

Question

Estoy tratando de calcular: $\int_{0}^{1}e^x(1-x)^{100}dx$. He intentado utilizar la integración por partes pero no funcionó para mí(ya que la necesito para hacerlo 100 veces, y obviamente hay una solución más corto) , he sustituido $(1-x)=u$ y consiguió $e\int_0^1e^{-t}t^{100}$, de nuevo estoy que no puedo con tanto. Cualquier sugerencia de cómo debe resolver esta integral?

Muchas gracias chicos!

Answer 1

Para lo que vale:

Escribir $$ t^{100}e^{-t}=t^{100}(1-t+{t^2\over 2!}-{t^3\más de 3!}-\cdots ) =t^{100}-t^{101}+{t^{102}\over 2!}-{t^{103}\más de 3!}-\cdots $$

El anterior de la serie es uniformemente convergente en $[0,1]$; por lo tanto: $$ \eqalign{ \int_0^1 e^{-t}t^{100}\,dt &=\sum_{n=0}^\infty \int_0^1 (-1)^n{t^{100+n}\over n!}\cr &=\sum_{n=0}^\infty (-1)^n{t^{101+n}\({101+n}) n!}\Bigl|_0^1\cr &=\sum_{n=0}^\infty (-1)^n{1\over({101+n}) n!}. \cr } $$

Answer 2

La integral es exactamente la parte fraccionaria de $100!\,e$, o en otras palabras $100!\ e-\lfloor100!\ e\rfloor\approx0.00999901019\ldots$

Aplicar integración por partes la integral de la $I_n=\int_0^1e^{1-t}t^n\,dt$ (es mejor no tirar de la $e$ hacia el frente) y se encuentra que para $n\geq1$, $$I_n=-1+nI_{n-1}$$

Esto nos da $$I_{100}=-1+100[-1+99[-1+98[-1+\cdots+2[-1+1I_0]\cdots]]]$$

$I_0$ es un sencillo cálculo: $e-1$. Así

Esto nos da $$I_{100}=-1+100[-1+99[-1+98[-1+\cdots+2[-1+e-1]\cdots]]]$$

Aquí es una buena observación. Una vez que esto se multiplica, (claramente?) se simplifica a $100!\,e-N$ para algunos enteros $N$. Una gráfica de examen de la integral revela que $I_{100}$ está en algún lugar entre el$0$$1$. (Usted puede probar esto con el hecho de que $e^{1-t}t^{100}=e^{1-t}tt^{99}\leq t^{99}$$[0,1]$.) Por lo $N$ debe ser igual a la parte entera de la $100!\,e$, dejando $I_{100}$ para la parte fraccionaria.

---

Es interesante notar que, desde $I_n\to0$$n\to\infty$, la parte fraccionaria de $n!\,e$ debe aproximarse a cero; es decir, $n!\,e$ se acerca más y más cerca de ser un número entero. (Aunque supongo que es obvio si tenemos en cuenta la costumbre de expansión de la serie de $e$.)

---

Para computacional fines, podemos usar esto para encontrar una aproximación decimal por tirar el primer $100$ términos o así (que son todos los números enteros) de la expansión de la serie de $100!\, e$.

$$ \begin{align} \int_0^1e^{1-t}t^{100}\,dt & = 100!\, e-\lfloor100!\,e\rfloor\\ & = \sum_{n=101}^{\infty}\frac{100!}{n!} \end{align} $$

Esta es la serie que bgins ha encontrado con algo un poco diferente argumento. En primer lugar, esta serie converge más rápido que David Mitra de la alternancia de la serie. Es correcto, al menos a 17 decimales después de sólo 8 parcial de los sumandos. David requiere 18 parcial de los sumandos para obtener tanta exactitud. Sin embargo, dado que ambas series tienen una relación de orden $1/n$ y David de la serie es alterna, creo que en el largo plazo para una precisión muy alta demanda, su serie podría ser mejor.

Answer 3

El uso de la fórmula $$ \frac{d}{dx}\left(e^x\ \sum_{n\ge0}\ (-1)^n\ f^{(n)}(x)\right)=e^x\ f(x), $$ que tiene si $f$ es un polinomio.

Answer 4

Usted podría utilizar la integración por partes. Usted va a terminar con una recursividad, como este:

$$\int\limits_0^1 {{e^{ - x}}{x^n}dx = \left[ { - {e^{ - x}}{x^n}} \right]_0^1} + n\int\limits_0^1 {{e^{ - x}}} {x^{n - 1}}dx$$ $${I_n} = -\frac{1}{e} + n{I_{n - 1}}$$

donde

$$\int\limits_0^1 {{e^{ - t}}{t^n}dt} = {I_n}$$

El uso suficiente de veces que terminará con su resultado.

Answer 5

Sustituto $1-x = t$ , así :

$I= -e \int \limits_1^0 e^{-t} \cdot t^{100}\,dt =e \int \limits_0^1 e^{-t} \cdot t^{100}\,dt$

Ahora sustituye : $-t=s$ , así :

$I= -e \int \limits_0^{-1} e^{s} \cdot s^{100}\,ds = e \int \limits_{-1}^{0} e^{s} \cdot s^{100}\,ds$

Esta integral se puede resolver usando Integración por partes varias veces .Para empezar a elegir :

$u = s^{100}~$ , e $dv = e^s ds$