Si elegimos al azar dos puntos dentro de un círculo centrado en $O$ radio $R$, y dibuja dos círculos centrados en los dos puntos con radio igual a la distancia entre ellos, lo que se espera que el área de la intersección de los dos cirlces que contienen el origen $O$.
Respuestas
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Deje $\vec{x}_1$ $\vec{x}_2$ ser los dos puntos. Deje $r = |\vec{x}_1 - \vec{x}_2|$ ser la distancia entre ellos. Por geometría elemental, si dibujamos dos círculo de radio $r$ el uso de estos dos puntos como el centro, el área de su intersección es dado por $(\frac{2\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2})r^2$. Aviso de la recogida de los dos puntos son independientes, se tiene: $$E\left[ \vec{x}_1 \cdot \vec{x}_2 \right] = E\left[\vec{x}_1\right] \cdot E\left[\vec{x}_2\right] = \vec{0} \cdot \vec{0} = 0$$ Esto implica $$E\left[|\vec{x}_1 - \vec{x}_2|^2\right] = E\left[|\vec{x}_1|^2 + |\vec{x}_2|^2\right] = 2\frac{\int_0^R r^3 dr}{\int_0^R rdr} = R^2$$
Como resultado, se espera que el área de la intersección es $(\frac{2\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2})R^2$.
Actualización para aquellos que son curiosos
Deje $\mathscr{C}$ el conjunto de eventos que la intersección contiene el origen, entonces: $$\begin{align} \operatorname{Prob}\left[\,\mathscr{C} \right] &= \frac{2\pi + 3\sqrt{3}}{6\pi}\\ E\left[\,|\vec{x}_1 - \vec{x}_2|^2 : \mathscr{C}\right] &= \frac{20\pi + 21\sqrt{3}}{6(2\pi + 3\sqrt{3})} \end{align}$$ y se espera que la zona de intersección condicional a la que contiene el centro está dado por: $$\frac{(4\pi - 3\sqrt{3})(20\pi + 21\sqrt{3})}{36(2\pi + 3\sqrt{3})}$$
Para evaluar $E\left[ \varphi(\vec{x}_1,\vec{x}_2) ) : \mathscr{C} \right]$ para cualquier función de $\varphi( \vec{x}_1, \vec{x}_2 )$ que es simétrica y de rotación invariante w.r.t su argumento, usted necesita calcular una integral de la de:
$$\int_{\frac{\pi}{3}}^{\pi} \frac{d\theta}{\pi} \left[2\int_{0}^{R} \frac{2udu}{R^2} \left( \int_{\alpha(\theta)u}^{u} \frac{2vdv}{R^2} \phi( \vec{x}_1, \vec{x}_2 ) \right) \right] $$
donde $u \ge v$ $|\vec{x}_1|$ $|\vec{x}_2|$ ordenados en orden descendente. $\theta$ es el ángulo entre el$\vec{x}_1$$\vec{x}_2$. El misterioso $\alpha(\theta)$$\max(2\cos(\theta),0)$$\theta \in [\frac{\pi}{3},\pi]$.
La integral es un gran lío y necesito un sistema de álgebra computacional a la manivela. No voy a dar más detalles sobre esta parte no es relevante para la respuesta principal.
clieforce
Puntos
1
Puede ser que usted puede tratar de integrar el Segmento Circular la mitad de uno y luego se multiplica por 2 (ya que el R de cada uno de los círculos son el mismo). Desde el ángulo mínimo cuando la intersección suceder exactamente en cada punto del centro, por lo que el ángulo mínimo es de 120 grados, y el ángulo máximo es exactamente 180 grados.
En base a eso, sólo hay que poner en la integración :
$$E[A] =2\int_{2\pi/3}^\pi \frac{R^2}2(\theta-sin\theta)d\theta$$
Donde E[A] se espera que el área, a continuación, sólo integrar la fórmula como básica integral.
gracias. espero que te pueda ayudar, si alguien puede arreglar eso.
gracias
