Si $U$ está conectado a un conjunto abierto en $\mathbb R^n$ $\bar U$ trayectoria-conectado? (que es, para cualquiera de los dos puntos $x_1,x_2$ en el cierre de $U$, podemos encontrar un camino continuo que conecta ellos?)
Respuestas
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Para un contraejemplo, tomar $$U=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\colon \lvert y-\sin(x^{-1})\rvert<x\}.$$ Su cierre será $$\overline U=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\colon \lvert y-\sin(x^{-1})\rvert\le x\} \cup\bigl(\{0\}\times[-1,1]\bigr). $$ Ninguna curva desde el interior puede alcanzar el segmento vertical a lo largo de la $y$ eje.
z_dood
Puntos
1
Yo rellene los detalles de Olivier Bégassat de la propuesta: Vamos a $Y$ $y$- eje, y deje $X$ ser la unión de abrir los segmentos verticales $L_x$ centrada en los puntos de $p_x=\bigl(x,\sin(1/x)\bigr)$$x>0$, con una longitud de $2x$. Ahora invoco el "peine teorema" (patente pendiente ;-) ): Si $W$ es un espacio topológico, y $Z$ (el "eje")y $Z_i, i\in I$ ("dientes") están conectados (resp., trayectoria-conectado) subconjuntos de a $W$ tal que $Z_i\cap Z\ne\emptyset$ por cada $i$, entonces la unión de $Z\cup\bigl(\cup_i Z_i\bigr)$ está conectado (resp., trayectoria-conectado) set.
En nuestro caso de interés, el eje de la $Z$ es la gráfica de la función $y=\sin(1/x)$$x>0$, que es el camino-conectado (la imagen de la ruta de acceso conectado a establecer $(0,\infty)$ a través de la función continua $\sin(1/x)\ $), y los dientes son los segmentos de $L_x$, lo que, obviamente, están en camino-conectado. Por lo tanto, $X$ es la ruta de acceso conectado.
La asignación de $h:(0,\infty)\times(-1,1)\to X$ $h(x,t)=\bigl(x,\sin(1/x)+tx\bigr)$ es un homeomorphism, por lo $X$ es un conjunto abierto. Queda por demostrar que $\overline X$ no es trayectoria-conectado. Para ello, supongamos que algunos de trayectoria continua $\gamma:[0,1]\to\overline X$ es tal que $\gamma(0)=(0,0)$$\gamma(1)=(1/\pi,0)$. Deje $$c=\sup\{x\in[0,1]: \gamma(x)\in Y\}\,.$$ Desde $Y$ es cerrado, entonces realmente tenemos $\gamma(c)\in Y$, y por lo $\gamma\bigl([c,1]\bigr)\cap Y=\emptyset$.
Deje $(x,y)\in\overline X$,$x>0$. A continuación, algunos de secuencia $(x_n,y_n)\in X$ converge a $(x,y)$, y por lo $y_n=\sin(1/x_n)+t_nx_n$$t_n\in(-1,1)$. Teniendo una larga, podemos suponer que $t_n\to t\in[-1,1]$, lo que implica $y=\sin(1/x)+tx$. Esto muestra que los puntos de $\overline X$ fuera de $Y$ son de la unión, es decir $T$, de la cerrada segmentos de $\overline{L_x}$ $x>0$ (que es visualmente evidente). En particular, el $\gamma\bigl((c,1]\bigr)\subseteq T$.
Deje $\gamma(x)=\bigl(\alpha(x),\beta(x)\bigr)$. Si $c<d\leq1$,$\alpha(d)>0$. Deje $k$ ser un entero positivo tal que $s,t<\min\{1/2,\alpha(d)\}$, donde
$$s=\frac1{2k\pi+\frac\pi2},\ t=\frac1{2k\pi-\frac\pi2}.$$
Desde $\alpha$ es continua, entonces, algunos de los $d^\prime,d^{\prime\prime}\in(c,d)$ satisfacer $\alpha(d^\prime)=s$$\alpha(d^{\prime\prime})=t$. En este caso tenemos a $|\beta(d^\prime)-\sin(1/s)|=|\beta(d^\prime)-1|\leq s\leq1/2$, y por lo $\beta(d^\prime)\geq1/2$. De forma similar, tenemos $|\beta(d^{\prime\prime})-\sin(1/t)|=|\beta(d^{\prime\prime})+1|\leq t\leq1/2$, lo que implica $\beta(d^{\prime\prime})\leq-1/2$. Desde $\beta$ es continuo, $\beta(d^{\prime\prime\prime})=1/2$ algunos $d^{\prime\prime\prime}$$d^\prime$$d^{\prime\prime}$.
En consecuencia, como $d$$c$, los puntos de $\gamma(d^{\prime\prime\prime})$ convergen a $(0,1/2)$. Por lo tanto,$(0,1/2)\in\overline{\gamma\bigl([c,1]\bigr)}$, lo cual es absurdo porque $\gamma\bigl([c,1]\bigr)$ es compacto, por lo tanto cerrado, y ya comenzamos a ver que $\gamma\bigl([c,1]\bigr)\cap Y=\emptyset$. Esta contradicción muestra que $\overline X$ no es trayectoria-conectado.
