Casi proyecciones en la matriz de álgebras.

Question

Tengo una pregunta acerca de la proyección de la matriz de álgebras sobre el número complejo, que no puede resolver..

Sea p una matriz en algunas $M_n(\mathbb C)$ y supongamos que p es casi auto-adjoint (es decir,$||p-p^*||<\epsilon$) y casi idempotente (es decir,$||p-p^2||<\epsilon$). ¿Hay un límite en la distancia entre el $p$ y una proyección? En particular, es no $k\in\mathbb N$ $q=q^*=q^2\in M_n(\mathbb C)$ tal que $||q-p||<k\epsilon$ donde $k$ NO depende de $\epsilon$?

Muchas gracias!

Answer 1

Como todas las normas en $M_n(\mathbb C)$ son equivalentes, se puede utilizar cualquier norma que se nos plazca. Voy a utilizar la norma $\|a\|=\sum_{i,j}|a_{ij}|$.

Deje $p_1$ ser el selfadjoint de la matriz dada por $$ (p_1)_{ij}=\begin{cases}p_{ij},&\mbox{ if }i< j\\ \\ \mbox{Re}\,p_{jj},&\,\mbox{ if }i=j \\ \\ \overline{p_{ji}},&\mbox{ if }i>j\end{casos} $$ Tenga en cuenta que $p_1$ es selfadjoint, $\|p_1-p\|\leq\|p^*-p\|<\varepsilon$, e $$\|p_1^2-p_1\|\leq\|p_1^2-p_1p\|+\|p_1p-p^2\|+\|p^2-p\|+\|p-p_1\|\leq(\|p_1\|+\|p\|+2)\,\varepsilon=(2+\|p\|)\,\varepsilon.$$

También, de $\|p-p^2\|<\varepsilon$ tenemos $$ \|p\|^2\leq\|p\|+\varepsilon, $$ lo que muestra que $\|p\|\leq1/2+\sqrt{\varepsilon+1/4}\leq 1+\sqrt\varepsilon$. Así que nuestra primera estimación se convierte en $$ \|p_1^2-p_1\|\leq(3+\sqrt\varepsilon)\,\varepsilon. $$

Desde $p_1$ es selfadjoint, podemos diagonalize: $p_1=vdv^*$, $v$ unitario e $d$ diagonal con entradas real. Desde $v$ es unitaria, $\|v\|\leq n^2$ (usando sólo que todas las entradas en $v$ son de valor absoluto en la mayoría) y así $$ \|d^2-d\|=\|v^*(p_1^2-p_1)v\|\leq n^4\|p_1^2-p_1\|\leq n^4(3+\sqrt\varepsilon)\,\varepsilon. $$ Esto demuestra que cada autovalor de a $p_1$ es cerca de $0$ o cerca de $1$ al $\varepsilon$ es pequeña. Concretamente, $$ \frac{1-\sqrt{1+4n^4(3+\sqrt\varepsilon)\,\varepsilon}}2\leq|d_{jj}|\leq\frac{1-\sqrt{1-4n^4(3+\sqrt\varepsilon)\,\varepsilon}}2 $$ o $$ \frac{1-\sqrt{1+4n^4(3+\sqrt\varepsilon)\,\varepsilon}}2\leq|1-d_{jj}|\leq\frac{1-\sqrt{1-4n^4(3+\sqrt\varepsilon)\,\varepsilon}}2. $$ El uso de que si $a<|d|<b$ $b>0$, $a<0$ a continuación,$|d|<b-a$, obtenemos $$ |d_{jj}|\leq8n^4(3+\sqrt\varepsilon)\,\varepsilon,\ \mbox{ o }|1-d_{jj}|\leq8n^4(3+\sqrt\varepsilon)\,\varepsilon $$ (el uso de ese $\sqrt{1+a}-\sqrt{1-a}\leq2a$$a>0$).

Así que vamos a $e$ ser una matriz diagonal con $e_{jj}=0$ si $|d_{jj}|\leq1/2$, $e_{jj}=1$ si $|d_{jj}|>1/2$. Deje $q=vev^*$. A continuación, $q$ es un selfadjoint de proyección y $$ \|p-p\|\leq\|p-p_1\|+\|p_1-p\|\leq n^4\|e-d\|+\varepsilon\leq n^4\,n8n^4(3+\sqrt\varepsilon)\,\varepsilon=8n^6(3+\sqrt\varepsilon)\,\varepsilon. $$

Finalmente, para responder a la pregunta: si un límite prescrito en $\varepsilon$ (que es básicamente la misma que la prescripción de un obligado en la norma de $p$), el $k$ puede ser encontrado. Por ejemplo, si $\varepsilon\leq1$, entonces podemos tomar $k=8n^6\times4=32n^6$.

Answer 2

hay un truco sencillo: vamos a $x=2p-1$, por lo que el $x^2$ casi $1$. Más precisamente, $x^2=1+4(p^2-p)$, es decir,$||x^2-1||<4\epsilon$. Así, podemos calcular $(x^2)^{-1/2}$ con el de Taylor (es decir, binomial) de la serie para $(1+t)^{-1/2}$ (enchufamos $t=4(p^2-p)$) proporcionado $4\epsilon<1$. Para $\epsilon$ lo suficientemente pequeño, $||(x^2)^{-1/2}-1||<2^+\epsilon$ donde $2^+$ es cualquier número $>2$. Vamos ahora a $y=x(x^2)^{-1/2}$, por lo que el $y^2=1$. Esto implica que $q$ definido por $y=2q-1$ satisface $q^2=q$. Observe que $q-p=(x-y)/2=y((x^2)^{1/2}-1)/2$.

Para hacer $q$ auto-adjunto, simplemente reemplace $p$$p'=(p+p^*)/2=p+(p^*-p)/2$, que es auto-adjunto y cerca de la original $p$. Esto hará que $x'$, $y'$, $q'$ también es auto-adjunto. Para obtener una estimación de $||q'-p||$ nota: $||p||^2<||p||+\epsilon$, es decir,$||p||<1+\epsilon$, lo que implica $||p'^2-p'||<(3/2)^+\epsilon$, por lo tanto $||(x^2)^{-1/2}-1||<3^+\epsilon$. Como $y'^2=1$ $y'$ es auto-adjunto, $||y'||=1$, así que, finalmente,$||q'-p||<(3/2)^+\epsilon$. Aviso que esta estimación no depende de $n$ y trabaja en dimensión infinita.