$\mathbb{R}$ con el límite inferior de la topología no es segundo contable

Question

Estoy tratando de demostrar que $\mathbb{R}$ con el límite inferior de la topología no es segundo contable.

Para hacer esto, estoy tratando de formar un incontable de la unión de $A$ de disjuntas, semi-abierto intervalos de la forma $[a, b)$, $a < b$. Es esto posible? Creo que esto implicaría la $A$ es abierto, pero no contables de la unión de la base de elementos que podrían coincidir con $A$ por lo tanto los números reales con el límite inferior de la topología no de segunda contables.

Creo que debe existir algo como $A$ descritas anteriormente, pero estoy teniendo problemas para visualizar y llegar a una fórmula para que la represente.

Tal vez hay alguna otra manera de mostrar que no es segundo contable.

Answer 1

Supongamos $\mathcal B$ es una base para el "límite inferior" de la topología en $\mathbb R$, mejor conocida como la línea de Sorgenfrey. Por la definición de una base para una topología, para cualquier conjunto abierto $U$ punto $x\in U$ existe un conjunto abierto $B\in\mathcal B$ tal que $x\in B\subseteq U$. Por lo tanto, para cualquier punto de $x\in\mathbb R$, ya que el $[x,\infty)$ es un conjunto abierto que contiene a $x$, se puede elegir un conjunto de $B_x\in\mathcal B$$\min B_x=x$. Dado que los conjuntos de $B_x(x\in\mathbb R)$ son distintos, esto demuestra que $|\mathcal B|\ge|\mathbb R|\gt\aleph_0$.

Answer 2

Deje $A_n$ ser una base. Para cada una de las $A_n\subset A_m$ elegir, si es posible, un intervalo de $I_{n,m}:=[a_{n,m},b_{n,m})$ tal que $A_n\subset [a,b)\subset A_m$.

La colección de $I_{n,m}$ debe ser una base. De hecho, si $A$ está abierto, tomar y punto arbitrario $x\in A$. Entonces no es (porque el $A_n$ para una base)$A_n\ni x$$A$. Hay (porque el $[a,b)$ formulario de una base) un pequeño $[a,b)\ni x$ $A_n$ y no es (porque $A_n$'s son una base)$A_m\ni x$$[a,b)$. Por lo tanto hay un $I_{n,m}$ (debido a que para este particular, $n,m$ es es posible $I_{n,m}$. Observe que $[a,b)$ podría ser un candidato). Esta $I_{n,m}$ por cierto contiene $x$, y dentro de $A$. Por lo tanto, $A$ es igual a la unión de todas las $I_{n,m}$ dentro de él.

Arriba realmente no hemos usado nada sobre el particular bases. En general: Dadas dos bases se puede construir un subconjunto de uno, que es todavía una base, y tiene cardinalidad no más grande que la otra base.

Por lo tanto, no es una contables base de la $I_{n,m}=[a_{n,m},b_{n,m})$. Desde $\mathbb{R}$ es incontable, hay dos puntos de $x,y$ tal de que ellos no son los límites de cualquier $I_{n,m}$.

Pero $[x,y)$ no puede estar formado por una unión de $I_{n,m}$, el punto de $x$ nunca está cubierta por la $I_{n,m}$ acostado dentro del intervalo de $[x,y)$.