Integración alrededor del polo simple y del semicírculo

Question

Dejemos que $f$ sea una función holomorfa sobre $\mathbb{C}$ con simple poste en $z_0$ . Entonces, si $\Gamma$ es un círculo alrededor de $z_0$ orientado en sentido contrario a las agujas del reloj con radio $r$ y $r\rightarrow 0$ entonces

$$\int_{\Gamma}f(z)dz=2\pi i Res_{z_0}(f)$$

Es un resultado del Teorema del Residuo. Pero me pregunto por qué si definimos $\Gamma'$ como el semicírculo superior del círculo $\Gamma$ entonces

$$\int_{\Gamma'}f(z)dz=\pi i Res_{z_0}(f)$$

Es bastante contraproducente para mí porque $f(z)$ no tiene por qué ser simétrico, etc. Y por qué esto sólo funciona cuando $z_0$ es un simple poste.

Answer 1

En tu post, hablas de encerrar el poste $z_0$ en un círculo. Entonces, por el Teorema del Residuo, que es el $2\pi i\sum\text{Res}$ . Si no hay ningún polo encerrado en el contorno, la integral es cero.

Cuando habla del semicírculo superior, ¿habla de dos mitades de un círculo que aún encierra el polo? Si es así, el polo sigue encerrado en el contorno. Si se refiere a este contorno,

Recogeremos sólo la mitad de los residuos. No importa la colocación del poste ya que podría haber estado en otro lugar. Esto ya estaba pre-LaTeX en mi ordenador. La integral entonces sería $$ \int_Cf(z)dz = \int_{\Gamma}f(z)dz + \int_{-R}^{\epsilon}f(z)dz - \int_{\gamma}f(z)dz + \int_{\epsilon}^{R}f(z)dz = 0 $$ que es igual a cero ya que no hay ningún polo en el contorno. Tendríamos $$ \int_{-\infty}^{\infty}f(z)dz = \int_{\gamma}f(z)dz $$ donde $\gamma$ es el semicírculo pequeño. Además, elegimos el $-\int_{\gamma}$ ya que la integración es en el sentido de las agujas del reloj en lugar de en el sentido contrario. Por el lema de Jordan, $\int_{\Gamma}\to 0$ como $R\to\infty$ . Ahora, dejemos que $f(z) = a/z + h(z)$ donde $h$ es holomorfo en el $z_0$ . Entonces la integral sobre $h$ llega a cero a medida que $\epsilon\to 0$ . Sea $z = \epsilon e^{i\theta}$ así que $dz = \epsilon ie^{i\theta}d\theta$ . La integral sobre $a/z$ es ahora $$ \frac{1}{2}\int_0^{2\pi}\frac{a}{z}dz = \frac{1}{2}\int_0^{2\pi}\frac{a\epsilon ie^{i\theta}}{\epsilon e^{i\theta}}d\theta = \frac{1}{2}\int_0^{2\pi}ai \ d\theta = \pi i a $$ Para $z_0$ no es simple, tenemos $$ \frac{1}{2}\int_0^{2\pi}\frac{a}{z^n}dz. $$ donde $n\geq 2$ . De nuevo, dejemos que $z=\epsilon e^{i\theta}$ así que $dz$ es el mismo. $$ \frac{1}{2}\lim_{\epsilon\to 0}\int_0^{2\pi}\frac{ai\epsilon}{\epsilon^ne^{i(n-1)\theta}}d\theta = \infty $$ para $n\in\mathbb{Z}$ . Probablemente el ejemplo más común que se encuentra en los libros de Análisis Complejo es calcular $$ \int_0^{\infty}\frac{\sin(z)}{z}dz. $$

Answer 2

Supongamos que $z_0=0$ y que $f(z) = \alpha/z + g(z)$ donde $g$ es holomorfo alrededor de $0$ . En particular $g$ está acotado en una vecindad de $0$ para que $$ \int_{\Gamma'}f(z){\rm d}z = \alpha\int_{\Gamma'}\frac{{\rm d}z}{z} + O(r) = \pi i \alpha + O(r).$$ De modo que en el límite $r\to0$ Tenemos la igualdad que usted ha declarado.

Cuando hay un doble polo, la situación es diferente porque entonces $\int_{\Gamma'}{\rm d}z/z^2$ tiende a infinito (aproximadamente como $1/r$ ). En resumen, $f$ el hecho de que sea simétrico no influye porque lo único que importa cuando se toma el límite como $r\to0$ es la contribución del polo, que tiene simetría.