¿La secuencia de $\sin(n!\pi^2)$ convergen o divergen?

Question

¿La secuencia de $\sin(n!\pi^2)$ convergen o divergen?

Answer 1

He dedicado un capítulo (3) de mi tesis en el set $\displaystyle G = \{x \in \mathbb{R}: \lim_{n \rightarrow \infty} \sin{(n! \pi x) = 0}\}$. Es fácil ver que (constante de Euler) $e \in G$. Digamos $\pi$, yo no sé ni si $e^2 \in G$.

Answer 2

De los que no puedo responder a la pregunta, pero aquí están algunos pensamientos. $\sin(n \pi^2)$ no tiene un límite porque $\{ n\pi \}$ es denso en $[0,1]$. Así que la pregunta sería realmente es $\{ n! \pi \}$ es densa. Uno se podría preguntar si $\{ n! \alpha \}$ es densa para cualquier irracional $\alpha$, pero es fácil ver que $\{ n! e \}\rightarrow 0$ a partir de la definición de la serie de $e$. Por lo $\sin(n! e \pi)$ límites a $0$. Por lo tanto el comportamiento de $\{ n! \pi \}$ depende de las propiedades de $\pi$.