¿Cuál es exactamente la diferencia entre una definición y un axioma?

Question

Me pregunto cuál es la diferencia entre una definición y un axioma.

¿No es un axioma lo que definimos como verdadero?

Por ejemplo, uno de los axiomas de la Aritmética de Peano establece que $\forall n:0\neq S(n)$ o, en inglés, que el cero no es el sucesor de ningún número natural. ¿Por qué no podemos definir el 0 como el número natural tal que no es el sucesor de ningún número natural?

En general, ¿por qué un axioma no es una definición?

¿Hay casos en los que podamos formular definiciones como axiomas o viceversa?

Answer 1

Los axiomas no están "definidos como verdaderos"; ni siquiera estoy seguro de qué significaría eso. Lo que son es evaluado como verdadero. En la práctica, esto significa que, en el contexto matemático que nos ocupa, se puede anotar en cualquier momento como la siguiente línea de la demostración.

Las definiciones no tienen prácticamente nada que ver con la verdad, sino que son la abreviatura de fórmulas o términos de la lengua. Utilizando el lenguaje de la teoría de conjuntos como ejemplo, " $x\subset y$ " va a ser una abreviatura de " $\forall z(z\in x\to z\in y)$ ". Si se pusieran estas dos expresiones a cada lado de un símbolo bicondicional, por supuesto que sería verdadero, pero no porque hayamos asumido que es verdadero, sino porque cuando se ha desempaquetado todo en el lenguaje formal real de la teoría de conjuntos (del que $\subset$ no es una parte) simplemente has puesto exactamente la misma fórmula en ambos lados; es una verdad lógica de la forma $\phi\iff\phi$ .

Actualización : Me di cuenta de que esta respuesta sería más completa si abordara el ejemplo que muestras arriba con $0$ , y abordó los comentarios realizados a continuación por @MauroALLEGRANZA.

Digamos que quiero definir $0$ como una abreviatura de la única $x$ tal que $\forall n(x\neq S(n))$ . Lo que se quiere decir es que podemos establecer una condición de unicidad, a saber " $\forall y(y=x\Leftrightarrow \forall n(y\neq S(n)))$ y, además, $\forall y(y=0\Leftrightarrow \forall n(y\neq S(n)))$ . Sin embargo, este último es un enunciado sustancial que implica la existencia de un cierto tipo de objeto, y si no tenemos $\forall n(0\neq S(n))$ como un axioma, ¿cómo lo derivaremos? Debería ser obvio que el mero hecho de tener una forma de decir "objeto sin predecesor" no garantiza la existencia de un objeto sin predecesor; en el mejor de los casos, has trasladado la carga del axioma $\forall n(0\neq S(n))$ en otro axioma que circunscribe el símbolo constante $0$ . Teniendo dos formas de decir "objeto sin predecesor", una en la lengua original y otra en un metalenguaje, no da más trabajo que tener una sola forma de decirlo.

Sig. Allegranza planteó una variante en la que el símbolo definido se convierte en un símbolo formal genuino de un lenguaje formal ampliado, y sólo se contemplan las extensiones de la teoría que axiomatizan la equivalencia del nuevo predicado con una fórmula del lenguaje antiguo. En este caso, el axioma que establece la equivalencia ni siquiera es enunciable en nuestro antiguo lenguaje, y mucho menos tendrá consecuencias para los modelos de dicho lenguaje. Con nuestro ejemplo anterior, podríamos tener el nuevo predicado de un lugar $Z(v)$ añadido a la lengua de $\mathsf{PA}$ y tomar como nuestro nuevo axioma $Z(v)\Leftrightarrow \forall n(v\neq S(n))$ . Es decir, tenemos un predicado, ahora parte del lenguaje formal, que es equivalente a la afirmación de que $v$ no tiene predecesor. Pero ahora que hay un axioma formal sobre $Z$ , sólo trata de derivar $\exists x\forall n(x\neq S(n))$ mucho menos $\forall n(0\neq S(n))$ Sólo con este axioma. Debería ser fácil ver que no vas a poder derivar ninguna sentencia no trivial en el lenguaje de $\mathsf{PA}$ .

En cualquier caso, vemos que las definiciones simplemente no hacen el trabajo de los axiomas.

Answer 2

Una definición es una extensión conservadora del lenguaje mediante un nuevo símbolo y algunos axiomas que implican este símbolo. La palabra clave aquí es _conservador_ En general, los axiomas refuerzan el sistema en cuestión, mientras que las definiciones no pueden hacerlo.

Answer 3

En este caso, tomo la aritmética de Peano como definida en la teoría de primer orden sobre funciones $0, s, +, \times$ de aridad 0, 1, 2, 2 respectivamente. El símbolo $0$ es sólo eso: un símbolo. No necesita una definición en este lenguaje. Ya existe. Necesitamos que los axiomas nos digan lo que podemos hacer con estos símbolos. Usted quiere "definir" cómo $0$ se comporta, y lo hace estableciendo algunos axiomas.

Punto de vista completamente alternativo: la razón por la que no hemos definido $0$ ser la cosa tal que ningún sucesor es $0$ es porque tal cosa no existe a priori. No hay nada en los otros axiomas que nos diga que $0$ se comporta de esta manera especial: no podemos demostrar que existe, pero tampoco podemos demostrar que no existe. Por ejemplo, podría definir un eggly función $\mathbb{C} \to \mathbb{C}$ para ser entero y acotado pero no constante. Se necesita un poco de trabajo para demostrar que no existen funciones ovales, pero es un hecho. Por tanto, se trata de una definición y no de un axioma: hemos demostrado que no pueden existir funciones eggly. Por otro lado, el axioma de Peano de que "la inducción se mantiene" es algo que simplemente sabemos que es cierto, pero es tan básico que no es posible demostrarlo ni su inverso. Por lo tanto, decimos simplemente "el axioma de inducción es verdadero", y lo llamamos un axioma . Los axiomas son verdaderos por decreto; las definiciones deben demostrarse para ser válidas.

Además, considere lo siguiente. Hay un axioma de la teoría de conjuntos ZF que dice que existe un conjunto vacío. Sin embargo, esto se puede derivar del axioma del infinito (que afirma que un conjunto existe) y del axioma de la comprensión (que nos permite seleccionar un subconjunto para el que se cumple "falso"). Por lo tanto, se podría suprimir el axioma del conjunto vacío y proporcionar en su lugar una definición de "conjunto vacío". En este caso suministrar el axioma porque realmente parece una exageración no - es una cuestión de estética. Nos gusta tener un axioma que dice "hay un conjunto vacío", aunque en realidad es un teorema que se puede derivar de los otros axiomas, porque es un poco más ordenado.

En resumen, la línea no siempre es muy clara, y no siempre está claro si algo debe ser un axioma o una definición. Ambos pueden ser apropiados, y puede ser que se trate de lo que es más agradable estéticamente.

Answer 4

Desde el punto de vista de la teoría de la prueba, no hay ninguna diferencia. Ambos anuncian efectivamente la veracidad de algo sin proporcionar una prueba de ello.

La diferencia surge cuando se aplica la teoría de modelos, que es necesaria para aplicar los resultados matemáticos (tanto si se aplican explícita como implícitamente). Una definición está totalmente contenida en el sistema matemático. No se puede estar en desacuerdo con ella porque es simplemente un artefacto de la forma en que está escrito el sistema. A veces también se puede reescribir el sistema para excluir una definición que sea "ofensiva".

Un axioma, en cambio, llega al exterior, al sistema que se está modelando. Estos axiomas definen el rango de problemas para los que los sistemas matemáticos son aplicables. Si uno no está de acuerdo con un axioma, simplemente afirma que el sistema matemático no es aplicable a una clase particular de problemas porque no está dispuesto a aceptar los axiomas.

Desde un punto de vista práctico, hay cierta diferencia entre escribir una definición y escribir un axioma. Tienes un poco más de libertad cuando nombras y defines definiciones, porque controlas totalmente su significado. Cuando se trata de axiomas, se tiende a tener que interactuar con lo que otros definen que significan las cosas. Por ejemplo, dentro de un sistema matemático, puedo optar por redefinir "+" para que tenga un significado que no se asocia normalmente con la adición. Esto puede ser eficaz para representar visualmente un concepto y asegurarse de que el lector lo recuerde (siempre que esté lo suficientemente cerca de la adición como para no provocar la disonancia cognitiva). Sin embargo, si proporciono un axioma que requiere que algo sea "continuo", y mi uso de "continuo" no es realmente el mismo que la definición más acordada, ahora puedo causar una gran confusión. Los axiomas son algo que normalmente se aborda por adelantado, antes de que tu propio estilo se haya filtrado en la notación y la verborrea. Si uno utiliza una terminología estándar en los axiomas, es más probable que confunda a alguien que esté escudriñando un montón de documentos en busca de una solución a su problema.

Un gran ejemplo de axioma aparece en la física: "un sistema cerrado". Un sistema cerrado es aquel en el que ninguna energía cruza la frontera del sistema (la derivada del flujo de energía es cero). Esto podría ser una definición en algunos escenarios abstractos, pero en casi todos los casos es un axioma. No todos los sistemas satisfacen el axioma de "sistema cerrado" (de hecho, técnicamente hablando, ningún sistema lo satisface al 100%, excepto quizás el universo en su conjunto). La aplicabilidad de cualquier modelización matemática bajo el supuesto axiomático de un sistema cerrado está limitada por lo bien que el "sistema cerrado" describa el sistema que alguien está explorando.

Por otro lado, puede haber casos en los que se opte por utilizarlo en el sentido de una definición. Por ejemplo, si se trabaja con una construcción matemática abstracta y se encuentra un subconjunto de esta construcción que tiene comportamientos similares a los de un sistema cerrado en termodinámica, se puede optar por definir un sistema cerrado para que coincida con ese subconjunto de su construcción. Uno podría estar explorando una clase de generadores de anillos, y notar que algunos de ellos demuestran un comportamiento como la decadencia entrópica. Uno puede elegir identificar estos comportamientos con términos termodinámicos como "sistema cerrado" porque hace un buen trabajo para capturar las relaciones en las que te estás centrando. Sin embargo, como está puramente encapsulado dentro de sus matemáticas, está bien si no es "la definición oficial". Esa definición no tiene que interactuar con los miles de artículos sobre sistemas termodinámicamente cerrados tanto como lo haría si su construcción sólo fuera aplicable a sistemas cerrados. En ese caso, querrías tratarla como un axioma.

En general, es efectivo pensar en una "definición" como algo interno a su trabajo, mientras que un "axioma" tiende a conectarse con el cuerpo mayor del trabajo, definiendo qué clases de problemas permiten la aplicación de su trabajo.

Answer 5

He encontrado exactamente la misma pregunta en Quora y me limito a copiar la respuesta dada por David Joyce, profesor de matemáticas de la Universidad de Clark. Aquí está la lien a la respuesta original.

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Los axiomas son principalmente de dos tipos: existenciales y universales.
A menudo van acompañados de definiciones.

Por ejemplo, un axioma existencial dice que algo existe. En los Elementos de Euclides hay un axioma en el Libro I de los Elementos de Euclides, Postulado 3, que dice que dados dos puntos, C y D, existe un círculo cuyo centro está en el primer punto C y cuya circunferencia pasa por el segundo D. Está precedido por el Libro I de los Elementos de Euclides, Definiciones 15-18, que definen círculos, centros, diámetros y circunferencias.

Otros axiomas son universales. Otro ejemplo de Euclides: Elementos de Euclides, Libro I, Postulado 4: todos los ángulos rectos son iguales.Eso está precedido por la definición Elementos de Euclides, Libro I, Definición 10 de ángulos rectos.

Las definiciones no se utilizan para decir que las cosas existen o que algo es cierto. Se utilizan para facilitar la conversación sobre las cosas. Euclides no tenía una palabra para el radio, pero habría facilitado las cosas. Lo llamó línea desde el centro del círculo hasta la circunferencia.