Si $G$ tiene sólo 2, no trivial subgrupos, a continuación, $G$ es cíclico

Question

Es el verdadero?

Si $G$ tiene dos adecuada, no trivial subgrupos, a continuación, $G$ es cíclico.

Answer 1

Deje $H_1$ $H_2$ ser los dos no trivial adecuada de los subgrupos del grupo dado $G$. Yo reclamo que $G$ no es la unión de $H_1\cup H_2$. Si uno de los subgrupos se contiene en el otro, entonces esto es trivialmente cierto. De lo contrario, existen elementos que pertenecen a un subgrupo, pero no en el otro. Deje $h_1\in H_1\setminus H_2$$h_2\in H_2\setminus H_1$. ¿Qué acerca de la $g=h_1h_2$? Si pertenece a $H_1$, entonces también lo hace $h_2$. Si pertenece a $H_2$, entonces también lo hace $h_1$. En cualquier caso, entran en contradicción con nuestra hipótesis, por lo que tenemos que concluir que el $g\notin H_1\cup H_2$.

Así que sabemos que existe un elemento $g\in G$, $g\notin H_1\cup H_2$. ¿Cuál es el subgrupo generado por a $g$? No puede ser $H_1$ o $H_2$, así que tiene que ser todos los de $G$. Ergo, $G$ es cíclico.

Answer 2

En primer lugar observamos que si $G$ no tiene orden finito, entonces no se tiene un número finito de subgrupos, por lo que podemos asumir que $G$ es finito (ver el comentario por Pete Clark).

Tenga en cuenta que si $3$ distintos números primos divide al orden del grupo, el grupo tiene al menos $3$ adecuado no trivial subgrupos.

Por lo $|G| = p^nq^m$ $p$ $q$ números primos. Ahora, si bien $n$ o $m$ es mayor que o igual a $4$, entonces el correspondiente subgrupo de Sylow tiene muchos subgrupos. También, si si, al menos, $2$ y el otro no $0$, de nuevo estamos demasiado muchos subgrupos.

Nos quedamos con cualquiera de las $|G| = p^3$ o $|G| = pq$. En ambos casos, el grupo cíclico de que el fin de satisfacer las condiciones, y queremos demostrar que estos son los únicos (ya que el grupo cíclico de orden $p^2$ tiene muy pocos subgrupos, y la no-cíclico uno tiene demasiados).

Si $|G| = pq$ $G$ no es cíclica y, a continuación, $G$ no es abelian, y por lo tanto tiene más de un subgrupo de Sylow para $p$ o $q$, que nos da también muchos subgrupos.

Si $|G| = p^3$ $G$ tiene al menos un subgrupo de orden $p$ y uno de orden $p^2$. Pero si $G$ no es cíclica, que tiene más de un subgrupo maximal, lo que nos da, al menos, dos de orden $p^2$, lo que resulta en muchos subgrupos.

Answer 3

Desde $G$ ha apropiado no trivial subgrupos $\exists~a~(\neq e)\in G.$

• Caso $1$: $G=(a):$ no queda Nada para probar.

• Caso $2$: $(a)$ es no trivial de la adecuada subgrupo de $G:$ Elija $b\in G-(a).$

  • Caso $2.1:$ $G=(b):$ Nada que demostrar.

  • Caso $2.2:$ $(b)$ es también un no-trivial adecuada subgrupo de $G:$

    • Caso $2.2.1:$ $(a)\cup(b)=G,$ a un subgrupo de $G.$

      En consecuencia, $(a)\subset(b)$ o $(b)\subset(a).$

    • Caso $2.2.2:$ $\exists~c\in G-(a)\cup(b).$

      Desde $G$ tiene sólo dos adecuada subgrupos $G=(c).$