Bott periodicidad y la geometría algebraica

Question

Es un teorema que cada localmente libre coherente gavilla en $\mathbb{P}^1$ más de una algebraicamente cerrado de campo es isomorfo a un único suma de las poleas $\mathcal{O}(n)$ por varios enteros $n$. En particular, el K-anillo de localmente libre coherente poleas (o todo coherente poleas, $\mathbb{P}^1$ nonsingular) es isomorfo a $\mathbb{Z}[t, t^{-1}]$.

La topológico K-anillo de vector de paquetes en $S^2$ es, por Bott periodicidad, isomorfo a $\mathbb{Z}[H]/(H-1)^2$ donde $H$ es la canónica paquete. Pero $S^2$ es homeomórficos a $\mathbb{P}^1_{\mathbb{C}}$.

Cada localmente libre gavilla corresponde a un vector de paquete en la $S^2$. De ello se desprende que el mapa en el K-grupos localmente libre de poleas para el vector de paquetes es surjective pero no inyectiva.

Preguntas:

1. ¿Qué va mal?

2. Existe una versión de periodicidad de Bott para variedades algebraicas (o esquemas)? (I. e., relación K-grupos de $X$$X \times \mathbb{P}^1$.) Entiendo que hay uno para la Picard grupos.

Answer 1

Es que no es cierto que el anillo de Grothendieck coherente poleas en $\mathbb{P}^1$ es isomorfo a $\mathbb{Z}[t, t^{-1}]$. A pesar de $\mathcal{O} \oplus \mathcal{O}(2)$ no es isomorfo a $\mathcal{O}(1) \oplus \mathcal{O}(1)$, tienen la misma clase en $K^0$.

La definición de la Grothendieck grupo coherente de poleas en un esquema de $X$ es que es generado por isomorfismo clases coherente de las poleas, el modulo de la relación que $[A] + [C] = [B]$ cada vez que hay una breve secuencia exacta $$0 \to A \to B \to C \to 0.$$ En particular, tenemos la secuencia exacta corta $$0 \to \mathcal{O} \to \mathcal{O}(1)^2 \to \mathcal{O}(2) \to 0,$$ donde los mapas son dadas por $(x \ y)$$\binom{-y}{x}$.

Esto hace que $K^0$ a $\mathbb{Z}[t, t^{-1}]/(t^2 - 2t +1) \cong \mathbb{Z}[u]/u^2$, como usted quería.

Cuando se trabaja en las categorías de suave o topológico de vector de paquetes, todo a corto exacta de las secuencias de split, así que usted puede conseguir lejos con la definición de $K$-teoría directa con las sumas. Usted no puede hacer eso en la coherencia o la algebraicas categorías.