Qué $a^n \mid b^n$ implican $a\mid b$?

Question

Qué $a^n \mid b^n$ implican $a\mid b$? Yo creo que sí, pero no he sido capaz de demostrarlo. No sé mucho de la teoría de números tan elemental respuesta sería genial.

Answer 1

Sugerencia $\ $ examinar los exponentes únicos primer factorizations, o sea, por la Raíz Racional de la Prueba, la reducción de la raíz racional $\rm\:x = b/a\:$ $\rm\:x^n = c\in\Bbb Z\:$ debe ser integral, por lo $\rm\:b/a\in\Bbb Z\:\Rightarrow\:a\mid b.$

Answer 2

Si se puede suponer que el teorema fundamental de la aritmética (que cada entero tiene una única factorización en números primos), se puede escribir: $$ \begin{align*} a &= p_1^{e_1} p_2^{e_2} \ldots p_r^{e_r} \\ b &= q_1^{d_1} q_2^{d_2} \ldots q_s^{d_s} \end{align*} $$ Aquí el $p_i$, $q_i$ son los números primos y los $e_i$ $d_i$ son todos mayores que 0. Si $a^n \mid b^n$, $p_i^{n e_i}$ debe tener una contraparte en un $q_j^{n d_j}$, en ese $p_i = q_j$$n e_i \le n d_j$, por lo que también debe ser que $e_i \le d_j$; y esto significa $a \mid b$.

Answer 3

Sugerencia: $p$ es un primer factor de $k$ si y sólo si $p^n$ es un factor de $k^n$. Esto es válido para cualquier prime $p$, entero $k$, y el entero positivo $n$.