Tengo un mal determinante - ¿por qué?

Question

Estoy tratando de calcular el siguiente determinante: $$\begin{vmatrix} a_0 & a_1 & a_2 & \dots & a_n \\ a_0 & x & a_2 & \dots & a_n \\ a_0 & a_1 & x & \dots & a_n \\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ a_0 & a_1 & a_2 & \dots & x \end{vmatrix} =$$ $$= \begin{vmatrix} a_0 & a_1 & a_2 & \dots & a_n \\ a_0 & a_1 & a_2 & \dots & a_n \\ a_0 & a_1 & a_2 & \dots & a_n \\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ a_0 & a_1 & a_2 & \dots & a_n \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} 0 & 0 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & x - a_1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & 0 & x - a_2 & \dots & 0 \\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ 0 & 0 & 0 & \dots & x-a_n \end{vmatrix} = 0 + 0 = 0$$

Aún así, los resultados experimentales contradicen, ya que por ejemplo tengo un no-cero determinante.

¿Qué estoy haciendo mal?

Answer 1

$\text{Det}(AB) = \text{Det}(A)\text{Det}(B)$, pero en general, $\text{Det}(A+B)$ no es igual a $\text{Det}(A) +\text{Det}(B)$. Parece que han utilizado esta fórmula equivocada $\text{Det}(A+B) = \text{Det}(A) +\text{Det}(B)$ para su primera igualdad.

Answer 2

Determinante es multilineal mapa de modo que la linealidad funciona de una manera diferente. La operación que ha realizado corresponde a la linealidad en un sentido $\det(A+B) = \det(A) + \det(B)$. Esto es cierto en general, sólo para el 1x1 de las matrices. La manera correcta de usar la linealidad de determinante es $$\det(x_1 + \alpha y_1,x_2,\cdots,x_n) = \det(x_1,x_2,\cdots,x_n) + \alpha \det(y_1,x_2,\cdots,x_n)$$ donde $x_1,\cdots,x_n,y_1$ son vectores de filas/columnas de la matriz. Así que, en su caso, la correcta manipulación de la $$\begin{vmatrix} a_0 & a_1 & a_2 & \dots & a_n \\ a_0 & x & a_2 & \dots & a_n \\ a_0 & a_1 & x & \dots & a_n \\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ a_0 & a_1 & a_2 & \dots & x \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_0 & a_1 & a_2 & \dots & a_n \\ a_0 & x - a_1 + a_1 & a_2 & \dots & a_n \\ a_0 & a_1 & x & \dots & a_n \\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ a_0 & a_1 & a_2 & \dots & x \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_0 & 0 & a_2 & \dots & a_n \\ a_0 & x - a_1 & a_2 & \dots & a_n \\ a_0 & 0 & x & \dots & a_n \\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ a_0 & 0 & a_2 & \dots & x \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} a_0 & a_1 & a_2 & \dots & a_n \\ a_0 & a_1 & a_2 & \dots & a_n \\ a_0 & a_1 & x & \dots & a_n \\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ a_0 & a_1 & a_2 & \dots & x \end{vmatrix}$$

Answer 3

Supongo que usted realmente quiere saber lo que el factor determinante es. Una de 2 por 2 tenemos, $$(1) \quad \begin{vmatrix} a_0 & a_1 \\ a_0 & x \\ \end{vmatrix} =a_0 \cdot (x-a_1)$$ Para un 3 por 3, tenemos, $$\begin{vmatrix} a_0 & a_1 & a_2 \\ a_0 & x & a_2 \\ a_0 & a_1 & x \\ \end{vmatrix}$$ Desde la parte superior derecha de 2 en 2, ya se sabe, podemos evaluar a lo largo de la fila inferior. Si además tenemos en cuenta que la expansión a lo largo de la parte inferior $a_1$ es igual a cero, obtenemos, $$(2) \quad \begin{vmatrix} a_0 & a_1 & a_2 \\ a_0 & x & a_2 \\ a_0 & a_1 & x \\ \end{vmatrix} =a_0 \cdot (x-a_1) \cdot (x-a_2)$$

De hecho, ahora sabemos que el determinante $D_n$ n por el n de la matriz de esta forma obedece,

$$(3) \quad D_{n+1}=D_n \cdot (x-a_{n-1})$$

Que implica el uso de $D_1=a_0$, que

$$(4) \quad D_{n}=a_0 \cdot \prod_{k=1}^{n-1} (x-a_k)$$

Yo soy más física orientada, por lo que me acababa de tomar este resultado y calcular la ruta de acceso correspondiente integral. Sin embargo, si usted lo desea, me deja como un ejercicio para demostrar rigurosamente esta el uso de la inducción.