Hay simplemente conectado parallelizable 4-variedades?

Question

En las páginas 166 de Scorpan "El Salvaje Mundo de los 4--colectores", él da un ejemplo de un parallelizable 4-colector ($S^1\times S^3$) y, a continuación, afirma: "no hay simplemente conectado ejemplos". Es confuso para mí si él significa que no hay ningún tipo de ejemplos en general, o ejemplos que son de 4 colectores. En cualquier caso, aquí está mi pregunta:

¿Existen (compacto, liso, orientado a), simplemente conectado a los colectores que se parallelizable? 4-variedades?

(Recordemos que el colector se llama parallelizable si tiene un trivial tangente paquete.)

Answer 1

Simplemente conectado suave compacto 4-colector tiene su homología concentrado, incluso en grados, por la dualidad de Poincaré. Por lo tanto su característica de Euler es positivo. Por la de Poincaré-Hopf índice teorema, un colector puede no tener ningún lugar de fuga de campo vectorial, y así es seguro que no parallelizable.

Answer 2

Al menos $S^3$ es una mentira grupo para parallelizable.