Si usted sabe que una forma de azulejos del avión, ¿también azulejo otras superficies?

Question

Por ejemplo, hay un suelo de baldosas hexagonales del avión. También hay un uso de los cuadriláteros. Parece intuitivo que ambos de estos mosaicos se aplican también en un toro. Es el caso de que cualquier cosa que se asigna 1 a 1 con el plano de la superficie tiene un "completo" mosaico con polígonos regulares? Me parece que debería ser capaz de baldosa maleficios sobre un toro, e incluso sobre la esfera; aunque esto parece un caso extremo, ya que no es 'en' la esfera excepto con un cierto grado de diferenciación y así sucesivamente. Vi un Buckminster Fuller casa el resto de los días y han estado preguntando acerca de esto.

Voy a tratar de explicar el sentido de la uno-a-uno la asignación requisito de un poco más clara. Puedo azulejo cualquier superficie homeomórficos para el avión? ¿En qué grado son las limitaciones de alrededor de encolado bordes juntos los mismos para la realización de un mosaico? Parece plausible para mí que el mosaico es al menos algo independiente de homeomorphicity, por ejemplo, puedo imaginar que podría haber ciertas construcciones permitir el liso suelo de baldosas, incluso, más particularmente torpe bordes. (Es decir, parece posible que el mosaico de propiedades no es necesario tener la misma "álgebra" como la proximidad de las relaciones; que, posiblemente, un poco diferente de homeomórficos relación es necesario?)

Tomo nota de que en la ulterior reflexión parece que estoy mezclando dos mosaico de estrategias en el primer gráfico. El primero es un 'interna' de mosaico, es decir, el dibujo en la superficie real. El segundo estilo de una "aproximación" mosaico (como la forma en que el Bucky de la casa se aproxima a una esfera con losas hexagonales.) Espero que esto te aclare algo: que es, la pregunta es si el primer tipo de suelo de baldosas es "limitada" a los colectores homeomórficos para el avión.

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Algunos de los supuestos que podrían ayudar a aclarar que mi intención:

1. Por el suelo de baldosas me refiero a la isométrica "relleno" de una superficie compacta de mosaicos; y, en particular, me preocupa que con el caso de sencillo, de planta poligonal, embaldosados, por ejemplo, cuadriláteros y hexágonos
2. Por superficie, creo que me refiero a un 2-d de Riemann colector (en todo caso: estoy muy curioso acerca de los casos de el toro, del cilindro y de la 2-esfera)

Answer 1

Usted está pidiendo a varias preguntas, entiendo que sólo el primero, el resto se requieren de algunos de los principales aclaración antes de que se conviertan en responder:

Pregunta 1. Deje $M$ es una superficie de Riemann homeomórficos para el avión. Qué $M$ admite un mosaico? Aquí un mosaico significa una partición de $M$ en pares isométrica relativamente compacto regiones con trozos suave límite, de tal manera que dos distintas baldosas se cruzan a lo largo de más de un límite de la curva.

Esta pregunta tiene un muy fácil una respuesta negativa. Por ejemplo, empezar con el plano Euclidiano $E^2$ y modificar su plana métrica en una bola de $B$, por lo que la nueva medida tiene un valor distinto de cero (en algún momento) la curvatura de la $B$ y queda plano (es decir, de curvatura cero) fuera de $B$. (Esta modificación puede ser incluso hizo de modo que la superficie de la $M$ es isométricamente incrustado en la distancia Euclídea 3-espacio $E^3$: comienza con el plano en $E^3$ y hacer un pequeño golpe en él.) La resultante del colector no admite suelo de baldosas, ya que todos, pero un número finito de baldosas sería disjunta de a $B$ y, por lo tanto, tiene curvatura cero métrica. Al mismo tiempo, al menos una baldosa $T_1$ contendrá los puntos en los que la curvatura no es cero. Por lo tanto, $T_1$ no puede ser isométrica a los azulejos que son distintos de $B$.

El mismo (o similar) de la construcción puede ser utilizado para cualquier (conectado, noncompact) liso de 2 dimensiones del colector $S$, no importa cuál es su topología. Este colector de siempre admite una métrica $g_0$ de curvatura constante $-1$. Ahora, modificar la métrica $g_0$ en una pequeña bola de $B\subset S$ lo que lo convierte en una métrica de no constante curvatura en $B$. Desde $S$ es no-compacto, el mismo argumento anterior muestra que el nuevo colector de Riemann no admite suelo de baldosas. Si $S$ es compacto, entonces, por supuesto, cada métrica en $S$ admite un mosaico, que consta de una sola baldosa. Si usted requiere de al menos dos piezas, uno siempre puede construir métricas que no admiten apuntados, pero esto requiere más trabajo.

Sin embargo, si su colector $M$ es decir, un piso de 2-toro, es decir, género 1 superficie cerrada equipada con una curvatura cero métrica, entonces ese $M$ siempre admite un mosaico compuesto de más de una baldosa. Déjeme saber si usted quiere ver una prueba (es muy fácil).

Answer 2

Creo que te refieres a una 2-esfera, que es un 2-d de la superficie que vive en el espacio 3-d. Ninguno de los embaldosados del plano se extienden a la 2-esfera debido a la característica de Euler. Puede segmentar la 2-esfera con pentágonos, pero no con cuadrados o hexágonos (excepto para el caso trivial de dividir un gran círculo en 4 o 6 segmentos y el uso de dos cuadrados o hexágonos.)