El uso de un par de las fuentes académicas:
http://www.math.unl.edu/~jorr1/math826/RiemannStieltjes.pdf (teorema de 6.7.8)
http://ocw.nctu.edu.tw/upload/classbfs1209122139184046.pdf (teorema de E6)
Ambas establecen que:
$$\int_a^b f(x) d\alpha(x)=\int_a^b f(x) \alpha'(x) dx$$
ningún cambio de los límites de la integración, de acuerdo con su respuesta de $1$. Usted NO los límites de cambio con un Stieljes integral.
Sin embargo vamos a ir a la definición de la integral de Stieltjes
Permite calcular
$$\begin{align*}
\lim\limits_{n\to\infty} \sum\limits_{i=0}^{n-1} \sqrt{\frac{2i}{n}}\left(\sqrt{\frac{2(i+1)}{n}}-\sqrt{\frac{2i}{n}}\right)&=\lim\limits_{n\to\infty} \frac{2}{n}\sum\limits_{i=0}^{n-1} \sqrt{i^2+i}-i \\
\end{align*}$$
Traté de encontrar una forma inteligente de sacar esto (yo no podría), pero escoger un gran número, decir $n=1,000,001$ y el uso de Wolfram Alpha
http://www.wolframalpha.com/input/?i=sum+sqrt%28k%5E2%2Bk%29-k+desde+0+para+1000000
Obtenemos la aproximación
$$\approx\frac{2}{1,000,001}\times 499,999$$
Esto es innecesario decir, muy cerca de la $1$.
Además, otro argumento vistazo a la primera fuente, el teorema de 6.7.6 integración por partes. Este dice que
$$\int_a^b f dg +\int_a^b g df=g(b)f(b)-g(a)f(a)$$
Desde $f=g$, obtenemos que:
$$2\int_0^2 \sqrt{x} d\sqrt{x}=\sqrt{2}\sqrt{2}-\sqrt{0}\sqrt{0}=2$$
Es decir,
$$\int_0^2 \sqrt{x} d\sqrt{x}=1$$
Edit: yo quería agregar porqué existe la confusión acerca de los límites cambiantes. Quiero reiterar. Con un Stieltjes integral:
$$\int_a^b f(x) d\alpha(x)=\int_a^b f(x) \alpha'(x) dx\neq \int_{\alpha^{-1}(a)}^{\alpha^{-1}(b)} f(x) \alpha'(x) dx$$
Y en tanto a la izquierda y términos centrales, que son la integración con los límites de $x$. No $\alpha(x)$, pero en realidad $x$. Esta es la razón por cosas como $\int_{\sqrt{x}=0}^{\sqrt{x}=2}\sqrt{x}d\sqrt{x}$ en la otra respuesta son tonterías.
El problema aquí es que esto se parece a u sustitución, desde el primer cálculo. $u$ de sustitución tiene la siguiente forma:
$$\int_{a}^{b} f(\alpha(x))\alpha'(x)dx=\int_{\alpha(a)}^{\alpha(b)}f(u) du$$
Sin embargo, con Stieltjes de la integración no es un análogo de la fórmula (comprobar el teorema de E9 en la segunda referencia).
$$\int_a^b f(g(x))d\alpha(g(x))=\int_{g(a)}^{g(b)} f(u) d\alpha(u)$$
Así que, en este caso, vamos a $f(x)=id(x)=\alpha(x)$, $g(x)=\sqrt{x}$. Entonces:
$$\int_0^2 id(\sqrt{x})d(id(\sqrt{x}))=\int_0^{\sqrt{2}}id(u)d(id(u))=\int_0^{\sqrt{2}}u du=1$$
