Demostrar que la serie tiene coeficientes del número entero positivo

Question

¿Cómo puedo demostrar que la serie de Maclaurin para $$ \mu(x) = (x^4+12x^3+14x^2-12x+1)^{-1/4} \\ = 1+3\,x+19\,{x}^{2}+147\,{x}^{3}+1251\,{x}^{4}+11193\,{x}^{5}+103279\, {x}^{6}+973167\,{x}^{7}+9311071\,{x}^{8}+\cdots $$ ha entero positivo de los coeficientes? (Tengo otros para hacer, también, pero esto va a ser un comienzo).

posibilidades
(a) Los coeficientes de $Q(n)$ satisfacer la recurrencia $$ (n+1)P(n)+(12n+21)P(n+1)+(14n+35)Q(n+2)+(-12n-39)P(n+3)+(n+4)P(n+4) = 0 $$ (b) $\mu(x)$ satisface la ecuación diferencial $$ (x^3+9x^2+7x-3)\mu(x)+(x^4+12x^3+14x^2-12x+1)\mu'(x)=0 $$ (c) la factorización de $x^4+12x^3+14x^2-12x+1$ es $$ \left( x-\sqrt {5}+3+\sqrt {15-6\,\sqrt {5}} \right) \left( x-\sqrt {5}+3-\sqrt {15-6\,\sqrt {5}} \right) \left( x+\sqrt {5}+3-\sqrt {15+ 6\,\sqrt {5}} \right) \left( x+\sqrt {5}+3+\sqrt {15+6\,\sqrt {5}} \right) $$ (d) $(1-8X)^{-1/4}$ ha entero positivo de los coeficientes, Pero si $X$ está definido por $1-8X=x^4+12x^3+14x^2-12x+1$, $X$ no tiene coeficientes enteros.

(e) Podemos calcular la serie de $\log\mu(x)$ $$3\,x+{\frac {29}{2}}{x}^{2}+99\,{x}^{3}+{\frac {3121}{4}}{x}^{4}+{ \frac {32943}{5}}{x}^{5}+{\frac {348029}{6}}{x}^{6}+\dots $$ y, a continuación, reconocer que su exponencial tiene coeficientes enteros?

Answer 1

Puedo demostrar la propiedad de enteros, pero (todavía) no se positividad.

Lema: Los coeficientes de la serie de Taylor de $\mu(x)$ son enteros.

Prueba. Podemos escribir $$x^4+12x^3+14x^2-12x+1=\left(1-x\right)^4\Bigl(1-8\nu(x)\Bigr),$$ donde $\nu(x)$ está dado por $$\nu(x)=\frac{2}{1-x}-\frac{7}{\left(1-x\right)^2}+\frac{7}{\left(1-x\right)^3}-\frac{2}{\left(1-x\right)^4}.$$ Los coeficientes de la serie de Taylor de $\nu(x)$ son claramente entero y tenemos $\nu(0)=0$. Dado que los coeficientes de $(1-x)^{-1}$ $(1-8x)^{-\frac14}$ son enteros, la declaración de la siguiente. $\qquad\square$

Otra opción es volver a escribir $\mu(x)$ en términos de $y=\frac{x}{1-x}$: $$\mu(x)\mapsto \frac{1+y}{\left[1-8y\left(1-y^2\right)\left(1+2y\right)\right]^{\frac14}}.$$ Es interesante notar que incluso los coeficientes de los diferentes poderes de $y$ parecen ser positivos.

Answer 2

Aquí es una prueba para positivitiy. El uso de la recurrencia $$ (n+1)P(n)+(12n+21)P(n+1)+(14n+35)Q(n+2)+(-12n-39)P(n+3)+(n+4)P(n+4) = 0 $$ $Q(0)=1,Q(1)=3,Q(2)=19,Q(3)=147$. Demostrar por inducción que $Q(n) \ge 3 Q(n-1)$ $n \ge 1$ . Esto es cierto para el primer par de términos. Asumir la verdad hasta a $Q(n+3)$, luego probarlo para $Q(n+4)$ como sigue: $$ (n+4)P(n+4) = (12n+39)P(n+3)-(14n+35)Q(n+2)-(12n+21)P(n+1)-(n+1)P(n) \\ \ge \left[(12n+39)-\frac{14n+35}{3}-\frac{12n+21}{9}-\frac{n+1}{27}\right]Q(n+3) \\ =\left[\frac{161}{27} n + \frac{692}{27}\right] Q(n+3) \gt (3n+12)P(n+3)=(n+4)3T(n+3) $$ y, por tanto,$Q(n+4) > 3 Q(n+3)$.

Answer 3

Para la periodicidad de mod $5$, ten en cuenta que $$(1 - x^4)^4 \equiv (1 + 3 x + 4 x^2 + 2 x^3)^4 (1-12 x+14 x^2+12 x^3+x^4) \mod 5 $$ y así en el campo de $\mathbb Z_5((x))$ formal de la serie de Laurent en $x$ sobre los enteros mod $5$ hemos $$ \eqalign {y\dfrac{1}{1-12 x+14 x^2+12 x^3+x^4} = \left(\dfrac{1+3x+4x^2+2x^3}{1-x^4}\right)^4\cr &= \left(1+3x+4x^2+2x^3 + (1+3x+4x^2+2x^3) x^4 + (1+3x+4x^2+2x^3) x^8 + \ldots \right)^4\cr} $$

Dado que hay una solución a través de los números enteros, tomando los coeficientes de mod $5$ nos da una solución en $\mathbb Z_5((x))$. Por supuesto, hay cuatro cuarto raíces, pero esta es la única solución cuyo coeficiente constante es $1$ (los otros tienen $2, 3$ o $4$).

Del mismo modo, para mostrar los coeficientes son impares, $$(1-x)^4 \equiv 1 + x \equiv 1 -12 x + 14 x^2 + 12 x^3 + x^4 \mod 2$$ de modo que, en $\mathbb Z_2((x))$ $$\dfrac{1}{1-12 x+14 x^2+12 x^3+x^4} = \dfrac{1}{(1-x)^4} = (1 + x + x^2 + x^3 + \ldots)^{4}$$

Combinar las soluciones de mod $5$ y mod $2$ y vemos que mod $10$ los coeficientes repita $1,3,9,7$.

El patrón de mod $3$ también parece bastante interesante (pero no el periódico): se los dejo como ejercicio. Solución de mañana, si nadie la publica.

EDIT: OK, se acabó el tiempo. Mod $3$ hemos $$\eqalign{(1 - x^2 + x^4)^{-1/4} &\equiv 1+{x}^{2}+{x}^{6}+{x}^{8}+{x}^{18}+{x}^{20}+{x}^{24}+{x}^{26} \ldots\cr &= \prod_{j=0}^\infty \left(1 + x^{2\cdot 3^j}\right) = \sum_{k \in S} x^{k}\cr}$$ donde $S$ es el conjunto de enteros positivos cuya base-3 representación no contiene $1$'s. Esto es debido a que $$(1+x^{m})^3 \equiv 1 + x^{3m}$ $ , de modo que $$ \dfrac{1+x^{2\cdot 3^{n+1}}}{1+x^2} \equiv \prod_{j=0}^n \dfrac{1+x^{2\cdot 3^{j+1}}}{1+x^{2\cdot 3^j}} \equiv \prod_{j=0}^n \left(1 + x^{2\cdot 3^j}\right)^2$$ Tomando $n \to \infty$ tenemos $$ \dfrac{1}{1+x^2} \equiv \prod_{j=0}^\infty \left(1 + x^{2\cdot 3^j}\right)^2$$ y, a continuación, $$ \dfrac{1}{1-x^2 + x^4} \equiv \dfrac{1}{(1+x^2)^2} \equiv \prod_{j=0}^\infty \left(1 + x^{2\cdot 3^j}\right)^4 $$

Answer 4

Aquí es un "casi" solución para el entero de los coeficientes.

Los ceros de $x^4+12x^3+14x^2-12x+1$ son algebraica de los números enteros. Así son sus recíprocos. Ahora en la serie $$ (1-xa)^{-1/4} = 1+\frac{a}{4} x+\frac{5 a^2}{32} x^2 +\frac{15a^3}{128} x^3 + \cdots $$ donde $a$ es un alebraic entero, los coeficientes son alebraic enteros (excepto por el poder-de-2 denominadores). Multiplicar cuatro de estos $$ (x^4+12x^3+14x^2-12x+1)^{-1/4} = \prod_a (1-xa)^{-1/4} $$ donde el producto es superior a todas las $a$ tal que $1/a$ es un cero de $x^4+12x^3+14x^2-12x+1$. Sus coeficientes son también algebraica de los números enteros, excepto posiblemente por el poder-de-2 denominadores. Pero esto es invariante bajo las permutaciones de las raíces, por lo que los coeficientes son números racionales. (Esto también se puede ver de manera más directa.) Por lo tanto, los coeficientes racionales enteros, excepto posiblemente por el poder-de-2 denominadores.

Después de hacer esto, yo pensaba que iba a ser capaz de terminar mediante el uso de 2-ádico números, para analizar estos denominadores. Pero parece que este polinomio no tiene ninguna 2-ádico ceros. Así que me tendría que ir a una expresión algebraica de la extensión de la 2-adics...