¿Cómo puede esta función tiene dos diversos antiderivatives?

Question

Estoy actualmente en funcionamiento con la siguiente integral:

$$\int\frac{u'(t)}{(1-u(t))^2} dt$$

Pero me doy cuenta de que

$\frac{d}{dt} \frac{u(t)}{1-u(t)} = \frac{u'(t)}{(1-u(t))^2}$

y

$\frac{d}{dt} \frac{1}{1-u(t)} = \frac{u'(t)}{(1-u(t))^2}$

Parece que ambas soluciones son posibles, pero que parece contradecir a la singularidad de la Integral de Riemann.

Así, las preguntas son:

1. Que uno de ellos es el correcto de la integral?
2. Si ambos son correctos, ¿por qué la solución no es única?
3. El polo de la u(t)=1 tiene algo que decir?

Answer 1

En realidad no es una contradicción, ya que la diferencia de dos funciones es constante: $$ \frac1{1-u(t)}-\frac{u(t)}{1-u(t)} = \frac{1-u(t)}{1-u(t)} = 1. $$ (Derivada de una función constante es cero. Función primitiva se determina únicamente hasta una constante.)

Answer 2

No he verificado que los derivados son correctos, pero aviso que $$\frac1{1-u(t)}-\frac{u(t)}{1-u(t)} = 1$ $

es decir, la diferencia entre ambos antiderivatives es constante. Esto implica que los derivados de ambas funciones son iguales.

Answer 3

$$ \frac{d}{dt} \frac{u(t)}{1-u(t)} = \frac {d} {dt} \left(\frac{1}{1-u(t)}-1\right) = \frac {d} {dt} \frac{1}{1-u(t)} $$

Tenga en cuenta que $1$ es solo una constante por lo que se desvanece. Pero cuando la primitiva se especifica la constante según las condiciones iniciales.

Answer 4

Una forma equivalente para ver esto, pero desde una perspectiva ligeramente diferente:

$$\frac{1}{1 - u(t)} = \frac{1 - u(t) + u(t)}{1 - u(t)} = 1 + \frac{u(t)}{1 - u(t)}$$

Tal vez esta técnica es digno de ver, es decir, jugando con una expresión utilizando inversos aditivos; específicamente, restando luego agregar $u(t)$ para el numerador, hemos llegado a ver que las dos expresiones sólo difieren por una constante (es decir, $1$).

Esta técnica ocasionalmente se presenta cuando la integración; por ejemplo,

$$\int \frac{x}{x+1} dx = \int \frac{x+1-1}{x+1} dx = \int 1 - \frac{1}{x+1} dx$$

donde la izquierda integrando es, en mi opinión, un poco menos amigable que el de más a la derecha.

Answer 5

Las otras respuestas son excelentes y explicar claramente que en efecto anti derivada de una función puede difieren por una constante. Quería añadir que su "problema" puede ser introducido tanto en un "adelante" y "hacia atrás" de la moda.

Le dio un "retroceso" ejemplo, que es cuando dos claramente no la igualdad de las funciones de la diferenciación producir la misma función. Pero el trabajo de la otra manera alrededor también se puede introducir el "problema", que es la integración de la misma función (y omitiendo la constante) todavía pueden producir una diferencia constante en la resultante de las funciones. Para ilustrar lo que quiero decir considerar los siguientes tentador conclusión

$$\text{Vamos a } f(x) = x, g(x) = x \text{ entonces } f(x) = g(x) \text{ y } \int f(x)dx = \int g(x)dx$$

Ahora podemos aplicar los resultados de la integración de la teoría en ambos lados de la ecuación (lo cual debería resultar en la aplicación de las mismas operaciones en los símbolos, ¿verdad?) y decide no añadir un extra constante para cualquiera de los dos. Si dejamos que la resultante expresiones que se indican, respectivamente, por $F(x)$ y $G(x)$, podríamos estar tentados a decir que $F(x) = G(x) = \frac{1}{2}x^2$, pero esta conclusión no es del todo cierto, porque los resultados dependen de las operaciones aplicadas. Por otra parte, al aplicar operaciones (sin saberlo) impuesto sobre nosotros por la forma de la ecuación!

Para ver esto, considere la ecuación diferencial $y' = y$. Supongamos que tengo la solución a $z = 2e^x$, ahora podríamos estar tentados a decir

$$ \frac{z}{z} = 1 \rightarrow \int \frac{z}{z}dx = \int dx \xrightarrow{\text{fijar tanto la integración de las constantes 0}} \log(z) = x \rightarrow z = e^x \rightarrow 2e^x = e^x $$

cual es obviamente falso.

He visto a veces los estudiantes que tienen problemas con esto, así que pensé que podría también agregar. Espero que ayude! :)