¿Cuál es la diferencia entre los enfoques analítico y numérico de los problemas?

Question

No tengo mucha (buena) formación matemática, más allá de algún cálculo básico de nivel universitario.

¿Qué significan "analítico" y "numérico"? ¿En qué se diferencian?

Answer 1

Ejemplo de enfoque analítico:

Encuentra la raíz de $f(x)=x-5$ .

Solución analítica: $f(x)=x-5=0$ , añada $+5$ a ambos lados para obtener la respuesta $x=5$

Solución numérica:

Adivinemos $x=1$ : $f(1)=1-5=-4$ . Un número negativo. Adivinemos $x=6$ : $f(6)=6-5=1$ . Un número positivo.

La respuesta debe estar entre ellos. Probemos $x=\frac{6+1}{2}$ : $f(\frac{7}{2})<0$

Así que debe estar entre $\frac{7}{2}$ y $6$ ...etc.

Esto se llama método de bisección.

Las soluciones numéricas son muy abundantes. La razón principal es que a veces o bien no tenemos un enfoque analítico (intentamos resolver $x^6-4x^5+\sin (x)-e^x+7-\frac{1}{x} =0$ ) o que la solución analítica es demasiado lenta y en lugar de calcular durante 15 horas y obtener una solución exacta, preferimos calcular durante 15 segundos y obtener una buena aproximación.

Answer 2

El desglose más sencillo sería este:

• Las soluciones analíticas pueden obtenerse exactamente con lápiz y papel;
• Las soluciones numéricas no pueden obtenerse exactamente en un tiempo finito y normalmente no pueden resolverse con lápiz y papel.

Sin embargo, estas distinciones pueden variar. Cada vez hay más teoremas y ecuaciones que sólo pueden resolverse con un ordenador; sin embargo, el ordenador no hace ninguna aproximación, simplemente puede hacer más pasos de los que cualquier humano puede esperar hacer sin error. Este es el reino de la "computación simbólica" y su primo, la "demostración automática de teoremas". Existe un gran debate sobre la validez de estas soluciones, ya que es difícil comprobarlas y no siempre se puede estar seguro de que el código fuente esté libre de errores. Algunas personas sostienen que las pruebas asistidas por ordenador no deberían ser aceptadas.

Sin embargo, la computación simbólica difiere de la numérica. En la computación numérica, especificamos un problema y luego le metemos números en la garganta en un orden muy bien definido y cuidadosamente construido. Si somos muy cuidadosos con la forma en que introducimos los números en la garganta del problema, podemos garantizar que el resultado es sólo un poco inexacto, y normalmente lo suficientemente cercano para cualquier propósito que necesitemos.

Las soluciones numéricas rara vez pueden contribuir a la demostración de nuevas ideas. Las soluciones analíticas suelen considerarse "más fuertes". La idea es que si podemos obtener una solución analítica, es exacta, y entonces si necesitamos un número al final del día, podemos simplemente meter números en la solución analítica. Por lo tanto, siempre hay un gran interés en descubrir métodos para las soluciones analíticas. Sin embargo, aunque se puedan encontrar soluciones analíticas, es posible que no se puedan calcular rápidamente. En consecuencia, la aproximación numérica nunca desaparecerá, y ambos enfoques contribuyen de forma integral a los campos de las matemáticas y las ciencias cuantitativas.

Answer 3

Lo analítico es exacto; lo numérico es aproximado.

Por ejemplo, algunas ecuaciones diferenciales no pueden resolverse exactamente (solución analítica o de forma cerrada) y debemos recurrir a técnicas numéricas para resolverlas.

Answer 4

Los métodos numéricos utilizan algoritmos exactos para presentar soluciones numéricas a problemas matemáticos.

Los métodos analíticos utilizan teoremas exactos para presentar fórmulas que pueden utilizarse para presentar soluciones numéricas a problemas matemáticos con o sin el uso de métodos numéricos.

Answer 5

El método analítico da soluciones exactas, que consumen más tiempo y a veces son imposibles. Mientras que los métodos numéricos dan una solución aproximada con una tolerancia permitida, menos tiempo y posible para la mayoría de los casos