Convergencia de la prueba de la razón implica la convergencia de la prueba de raíz

Question

En Elias Stein y Rami Shakarchi del Complejo Análisis de libros de texto, tenemos el siguiente ejercicio:

Mostrar que si $\{a_n\}_{n=0}^\infty$ es una secuencia de números complejos tales que $$\lim_{n\to\infty}\frac{|a_{n+1}|}{|a_n|}=L,$$ then $$\lim_{n\to\infty}|a_n|^{1/n}=L.$$

He estado tratando de demostrar esta sin suerte. La única cosa que he pensado hacer es$$\lim_{n\to\infty}\left(\frac{|a_{n+1}|^n}{|a_n|^n}\right)^{1/n},$$, pero esto no me llevan a ninguna parte, excepto a callejones sin salida. Alguien proporcionar una sugerencia para mí acerca de cómo proceder? Gracias!

Actualización menor: no sé si es útil, pero sé que podemos escribir el límite de $$\lim_{n\to\infty}\left(\frac{|a_{n+1}a_n\cdots a_0|}{|a_n\cdots a_0|}\cdot\frac{1}{|a_n|}\right).$$Esto me recuerda mucho de la media geométrica, que incluso tiene los exponentes estoy tratando de conseguir...

Answer 1

Por definición de límite, para cada $\varepsilon>0$ allí existe $N$ s.t. $$n>N \implies \left| \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right|-L \right|<\varepsilon.$ $ para $$|a_n|=\frac{|a_n|}{|a_{n-1}|}\cdots \frac{|a_{N+1}|}{|a_N|} |a_N|<(L+\varepsilon) ^{n-N} |a_N|$ $ arraigarse la $n$ th de ambos lados de la desigualdad. Entonces obtenemos %#% $ de #% tomando $$\sqrt[n]{|a_n|} <(L+\varepsilon)^{1-N/n}\sqrt[n]{|a_N|}.$ entonces % $ $n\to\infty$$$\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|} \le L+\varepsilon.$es arbitrario, tenemos $\varepsilon$ $\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|} \le L.$ podemos obtener la misma