¿$f(x)=\sin(x^2)$ Es periódica?

Question

Es la función de $f:\Bbb R \rightarrow \Bbb R$ define como $f(x)=\sin(x^2)$, para todos los $x\in\Bbb R$, periódico?

Aquí está mi intento de resolver esto:

Vamos a suponer que es periódica. Para que una función sea periódica, que debe satisfacer $f(x)=f(T+x)$ todos los $x\in\Bbb R$, por lo que debe satisfacer la relación de $x=0$. Así que tenemos que $T^2=k\pi \iff T=\sqrt{k\pi}$, $k\in\Bbb N$ (desde $T$ debe ser positivo, podemos quitar el $-\sqrt{k\pi}$ solución).

¿Y ahora qué? Traté de tomar $x=\sqrt\pi$ y el uso de la $T$ encontré, y me sale esto: $$ \sin\pi=\sin(T+\sqrt\pi)\iff-1=\sin(\pi(\sqrt k+1)^2)\iff k+2\sqrt k+1=3/2+l $$ Es esto suficiente para que la contradicción? El lado izquierdo de la ecuación es a veces irracional y obtiene racional sólo al $k$ es cuadrado perfecto, lo que no ocurre periódico, mientras que el lado derecho es siempre racional. O yo estoy todavía faltan algunos pasos?

Gracias.

Answer 1

Que $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ ser periódico con período $T$.

• El rango de $f$ es precisamente $f([0, T])$; en particular, si $f$ es continua, se limita el rango de $f$.
• Si $f$ es diferenciable, es periódica con período $f'$ $T$.

Tenga en cuenta que $f(x) = \sin(x^2)$ es diferenciable y $f'(x) = 2x\cos(x^2)$ que es ilimitada. Por lo tanto, $f'$ no puede ser periódico por el primer punto, y por lo tanto no puede ser periódica por el segundo punto $f$.

Answer 2

Su enfoque simplemente las fuerzas de $k$ a ser un cuadrado. La observación de que la LHS, será irracional a veces es una idea crucial, pero no se aplican cuando se utiliza sólo dos intervalos de $[0, T]$ $[\sqrt{\pi}, \sqrt\pi + T]$ a forma de ecuaciones. Aquí es un enfoque que utiliza más.

Suponga que $f$ es periódica con período de $T$. Tenga en cuenta que el conjunto solución para $f(x) = 0$$\{\pm\sqrt{n\pi}\ |\ n = 0, 1, 2, \dotsc\}$. Para cualquier entero no negativo $m$, $f(\sqrt{m\pi}) = 0$ por lo tanto $f(\sqrt{m\pi} + T) = 0$. Por lo tanto, existe un número entero $k_m$ tal que $\sqrt{m\pi} + T = \sqrt{k_m\pi}$. Tenga en cuenta que $T = \sqrt{k_0\pi}$, lo que nos da $$\begin{align} \sqrt m + \sqrt k_0 &= \sqrt k_m\\ m + k_0 + 2\sqrt{mk_0} &= k_m. \end{align}$$

Y ahora tenemos un número de la teoría de la pregunta. Deje $k_0 = a^2b$ donde $a^2$ es el mayor cuadrado que se divide $k_0$.

1. Si $b = 1$, elija $m = 2$ tener un irracional LHS y un entero RHS.
2. Si $b \neq 1$, elija $m = 1$ tener un irracional LHS y un entero RHS.

Contradicción!