Prueba por inducción: alternando la suma de números de Fibonacci

Question

Posibles Duplicados:
Mostrar que $f_0 - f_1 + f_2 - \cdots - f_{2n-1} + f_{2n} = f_{2n-1} - 1$ al $n$ es un número entero positivo

Esta es una tarea pregunta, así que estoy buscando sólo se le dio un codazo en la dirección correcta, no estoy pidiendo que mi trabajo sea hecho por mí.

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Los números de Fibonacci se define de la siguiente manera: $f_0 = 0$, $f_1 = 1$, y $f_{n+2} = f_n + f_{n+1}$ siempre $n \geq 0$. Demostrar que cuando se $n$ es un número entero positivo:

\begin{equation*} f_0 - f_1 + f_2 + \ldots - f_{2n-1} + f_{2n} = f_{2n-1} - 1 \end{ecuación*}

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Así como yo lo entiendo, esto es un problema de la inducción. He hecho la base paso con $n = 1$:

\begin{align*} - f_{2(1)-1} + f_{2(1)} &= f_{2(1)-1} - 1\newline - f_1 + f_2 &= f_1 - 1\newline - 1 + 1 &= 1 - 1\newline 0 &= 0 \end{align*}

He llegado a la conclusión de que la hipótesis inductiva es que $- f_{2n-1} + f_{2n} = f_{2n-1} - 1$ es cierto para algunos $n \geq 1$. De lo que he entendido, el paso inductivo es:

\begin{equation*} f_0 - f_1 + f_2 + \ldots - f_{2n-1} + f_{2n} - f_{2n+1} = f_{2n} - 1 \end{ecuación*}

Sin embargo, lo que me parece es que al intentar demostrar que el uso de la ecuación es que es incorrecta. Por ejemplo, cuando me tome $n = 1$

\begin{align*} - f_{2(1)-1} + f_{2(1)} + f_{2(1)+1} &\neq f_{2(1)} - 1\newline - f_1 + f_2 - f_3 &\neq f_2 - 1\newline - 1 + 1 - 2 &\neq 1 - 1\newline -2 &\neq 0 \end{align*}

Supongo que mi paso inductivo está mal, pero no estoy seguro de dónde me salió mal. Tal vez fui malo en otros lugares. Cualquier sugerencias?

Answer 1

Su razonamiento es sonido, pero tu hipótesis de inducción es un poco mal. Debe ser algo como esto:

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Suponga que tiene $n = k$. Entonces tenemos $$ f_0-f_1 + \cdots-f_ {2k-1} + f_ {2k} = f_ {2k-1} -1 $$ Ahora se muestra $$ f_0-f_1 + \cdots-f_ {2k-1} + f_ {2k}-f_ {2 k + 1} + f_ {2 k + 2} = f_ {2 k + 1} -1 $$

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Si se resuelve, se a comprobado.

Answer 2

Haz el paso inductivo sustituyendo en todas partes $n$ $n+1$. Así que debería ir la suma alterna hasta $2(n+1)$, no $2n+1$.

Answer 3

Tienes el paso inductivo mal. Lo que quieres demostrar es $$ f_0 - f_1 + f_2 - \dots - f_ {2n + 1} + f_ {2n + 2} = f_0 - f_1 + f_2 - \dots - f_ {2(n+1) 1} + f_{2(n+1)} = f_ {2(n+1)-1} - 1 = f_ {2n + 1} - 1. $$ Tal vez será más fácil demostrar algo que es cierto. = D

Espero que ayude,

Answer 4

SUGERENCIA $\ $ LHS,RHS tanto satisfacer $\rm\ g(n+1) - g(n)\: =\: f_{2\:n},\ \ g(1) = 0\:.\:$ Pero es corto y fácil de demostrar por inducción que las soluciones $\rm\:g\:$ de esta recurrencia son únicos. Por lo tanto LHS = RHS.

Nota que la abstracción de las particularidades del problema hace que la prueba mucho más evidente y, además, los rendimientos de una mucho más poderosa, una que se aplica a cualquiera de las funciones que satisfacen la recurrencia de este formulario. Generalmente la singularidad de los teoremas de proporcionar herramientas muy poderosas para probar las igualdades. De mucho mayor elaboración y muchos ejemplos ver mis anteriores posts en telescopy y el teorema fundamental de la diferencia de cálculo, esp. este uno.