Pregunta simple: el supremum doble

Question

Deje $f:A\times B\to \mathbb R$. Es cierto que siempre $$ f^* = \sup\limits_{un\en a,b\in B}f(a,b) = \sup\limits_{a\in A}\sup\limits_{b\B}f(a,b). $$ He demostrado que por el $\varepsilon$-$\delta$ argumentos, pero aún no estoy seguro de si lo he hecho formal suficiente.

Prueba: Vamos a $g(a) = \sup\limits_{b\in B}f(a,b)$ por lo tanto $g(a)\geq f(a,b)$ todos los $b\in B$ cualquier $\varepsilon>0$ existe $b'_{a,\varepsilon}\in B$ tal que $f(a,b'_{a,\varepsilon})\geq g(a)-\varepsilon/2$. Ponemos a $g^* = \sup\limits_{a\in A}g(a)$, $g^*\geq g(a)\geq f(a,b)$ todos los $a\in A,b\in A$ cualquier $\varepsilon>0$ existe $a'_\varepsilon\in A$ tal que $g(a'_\varepsilon)\geq g^*-\varepsilon/2$.

Ahora, para una arbitraria $\varepsilon>0$ podemos tomar $a'_\varepsilon\in A$ $b'_{a',\varepsilon}\in B$ tal que $f(a'_\varepsilon,b'_{a',\varepsilon})\geq g(a'_\varepsilon)-\varepsilon/2\geq g^*-\varepsilon$, lo $g^* = f^*$.

Para el caso de $f^* = \infty$ tengo casi la misma prueba (sólo las desigualdades son diferentes). También debo ponerlo aquí?

Answer 1

Sí. Que $x = \sup\limits_{a \in A, b \in B}f(a,b)$ y $y = \sup\limits_{a \in A}\sup\limits_{b\in B}f(a,b)$, donde asumimos que ambos existen. Para cada $a\in A$ deje $y_a = \sup\limits_{b\in B}f(a,b)$; Existen claramente todas las $y_a$ $y = \sup\limits_{a\in A}y_a$ y $y_a \le y$ cada $a \in A$.

Fijar $a_0 \in A$; $f(a,b) \le x$ % todo $\langle a,b \rangle \in A \times B$, en particular $f(a_0,b) \le x$ % todo $b \in B$y por lo tanto $y_{a_0} = \sup\limits_{b\in B}f(a_0,b) \le x$. Así, $y_a \le x$ % todo $a\in A$y sigue que $y = \sup\limits_{a\in A} y_a \le x$. Supongamos que $y<x$ y fijar $z \in (y,x)$. Por la definición de $x$ allí es algunos $\langle a,b \rangle \in A \times B$ tal que $f(a,b) > z$. Pero entonces debemos tener $y_a \ge f(a,b) > z > y$, que es absurdo. Por lo tanto, $x=y$.