Puedo demostrarlo si $a_n \geq 0$ para todos $n$ (por prueba de comparación). ¿Cómo se debe abordar esto en general?
Además, ¿es cierto que lo contrario también es válido?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Que $\sum a_n$ converge no implica $\sum a_n^3$ converge, en general, para los casos no positivos $a_n$ .
Para un $m$ , escriba como $m=3n+k$ donde $0 \leq k < 3$ y definir $a_{3n+k} = b_k / (n+1)^{1/3}$ donde $b_0 = 2$ y $b_1, b_2 = -1$ . Entonces $a_n^3$ en general parece
$$\frac{8}{1}, \frac{-1}{1}, \frac{-1}{1}, \frac{8}{2}, \frac{-1}{2}, \frac{-1}{2}, \frac{8}{3}, \frac{-1}{3}, \frac{-1}{3}, \dots$$
que tiene sumas parciales $s_{3n} = 6 \sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{k}$ divergentes.
EDIT: Que lo contrario no es válido se deduce de la elección de $a_n = 1/n$ . $\sum 1/n^3 < \infty$ pero $\sum 1/n = \infty$ .
EDIT 2: Estoy bastante seguro de haber visto este ejemplo en algún lugar en este sitio web, pero no recuerdo dónde. Lo enlazaría si pudiera encontrarlo. Este fue un problema de cualidad pasado en mi universidad así que tal vez aprendí la respuesta a través de otros materiales.
