Si $\left| f'(x) \right| \leq A |f(x)|^\beta $ entonces f es una función constante

Question

Problema Deje $f(x)$ ser una función derivable en a $[a,b]$ satisfacción $f(a)=0$. Si no existe $A \ge 0$ $\beta \ge 1$ de manera tal que la desigualdad

$$\left| f'(x) \right| \leq A \left| f(x) \right|^\beta $$

tiene para todos los $x$$[a,b]$, $f(x) = 0$ para cualquier x en ese intervalo.

Mi intento de solución

Vamos a demostrar por contradicción. Supongamos que para algunos $x$ $[a,b]$ tenemos $f(x) \neq 0$.

Poner $S:= \left\lbrace x \right. $ tal que $a \le x \le b $ $f(x) \neq 0 \left. \right\rbrace$ $c:=\inf S$ (el infimum valor de $S$). Si $c=b$ $ f(x) = 0$ $\forall x < b$ y la continuidad de la $f$ implica que el $f(b) = 0$ (contradicción). Por lo tanto,$c \neq b$. Si $c=a$, $f(c) = 0$ por la hipótesis. De lo contrario, cuando se $a < c < b$ hemos $f(x) = 0$ $\forall x < c$ y de nuevo, por la continuidad, $f(c) = 0$. Así, en todos los casos considerados, tenemos $f(c) = 0$ $a \leq c < b$

Como $f$ es continua en a$c$$f(c) = 0$, se puede elegir la $d>c$ y lo suficientemente cerca para $c$ tal que $|f(x)| \le 1$ $$\tag{$\estrellas$} A(x-c) \le \frac12\quad\text{for all }x\text{ with }c \le x \le d.$$ Since $f$ is continuous on $[c,d]$, it has maximum and minimum values on this closed interval, leading to the existence of $c \le t \le d$ such that $|f(t)| = \max_{c \le x \le d} |f(x)|$. As already noted, $f(c) = 0$ and $c$ is the infimum of the set of numbers whose image under $f$ is nonzero. Therefore, for any $\epsilon>0$, there is some $c<m<c+\epsilon$ satisfying $f(m) \neq 0$. This observation, together with the definition of $t$, gives us $$\tag{$\estrella\!\estrella$}f(t) \neq 0,$$ $t \neq c$ and so $c<t$. Aplicando el teorema de Lagrange se tiene:

$$ |f(t)| = |f(t) - f(c)| = |t-c||f'(u)| \leq|t-c|A|f(u)|^\beta $$ where $c<u<t\le d$. By $(\estrella)$: $$ |t-c|A|f(u)|^\beta \le \frac12 |f(u)|^\beta \leq \frac12 |f(u)| $$

La combinación de las dos desigualdades y observando que $|f(t)| \ge |f(u)|$ (debido a la definición de $t$), tenemos $f(u) = f(t) = 0$ y llegó a una contradicción con $(\star\star)$.

Pregunta

Espero que alguien pueda verificar si mi solución es correcta. Por supuesto, otras ideas, comentarios o soluciones son bienvenidos.

Me gusta el post problemas y mis soluciones para el foro, ya que creo que es beneficioso para la comunidad, y para los estudiantes como yo. En primer lugar, casi no puedo saber si hay un error en mi propio argumento. En segundo lugar, puede obtener nuevas ideas y soluciones para mi problema.

Gracias.

Answer 1

Deje $B = \{x\in [a,b]: |f(x)|=0\}$. Por la continuidad, este conjunto es cerrado. Desde $f(0) = 0$, el conjunto es no vacío. Nos muestran que también está abierto.

Deje $x\in B$, es decir,$f(x) =0$. Por la continuidad, existe $0<r<(2A)^{-1}$, de tal manera que $|f(y)|<\frac 12$ todos los $y\in B_r(x)$. Fijar un $y\in B_r(x)$. Queremos mostrar que $f(y) =0$.

Por el valor de la media de la desigualdad, tenemos $$|f(y)| = |f(y) - f(x)| \le |f'(\xi_0)| |y-x| \le |f'(\xi_0)|r$$ para algunos $\xi_0\in B_r(x)$ tirado en el segmento de entre $x$$y$. Por supuesto, tenemos $|f'(\xi_0)|\le A |f(\xi_0)|^\beta$, por lo tanto $$|f(y)|\le |f'(\xi_0)|r \le A|f(\xi_0)|^\beta (2A)^{-1} \le \frac 12|f(\xi_0)|^\beta.$$ By the same argument applied to $\xi_0\en B_r(x)$ instead of $s$, we see that there exists $\xi_1\en B_r(x)$, such that $|f(\xi_0)|\le \frac 12|f(\xi_1)|^\beta$. Iterating yields a sequence $\xi_n \en B_r(x)$, such that $|f(\xi_{n})|\le \frac 12|f(\xi_{n+1})|^\beta$ for all $n$. Note that by our choice of $r$, we have $|f(\xi_{n})|\le \frac 12$ for all $$ n. Llegamos a la conclusión de que $$|f(y)|\le \frac 12 |f(\xi_0)|^\beta \le \frac 1{2^2}|f(\xi_1)|^{\beta^2} \le \frac{1}{2^3}|f(\xi_2)|^{\beta^3}\le \dots \le \frac{1}{2^n}|f(\xi_{n-1})|^{\beta^n}\le \frac 1{2^{n+\beta^n}},$$ para todos los $n\in \mathbb N$. Dejando $n\to \infty$ muestra que $|f(y)| = 0$ (usando también se $\beta \ge 1$). Esto implica que $B_r(x)\subset B$, por lo tanto $B$ está abierto.

Desde $[a,b]$ está conectado, se deduce que el $B$ debe $[a,b]$, por lo tanto $f= 0$.

Answer 2

( Edit. La educación a distancia análisis también explica por qué la $\beta \geq 1$ es necesario. La condición para $|f'(x)| \leq A|H(f(x))|$ a tienen la propiedad de que $f$ no cambia de signo, al $H$ es una función tal que $H(x)=0$$x=0$, es que $\frac{1}{H(x)}$ dispone de un no-integrable singularidad en $0$. Sabiendo que esta es la respuesta, no hay ninguna pérdida en la consideración de las singularidades que son potencias de $f$, que es lo que la mayoría de los casos se parecen y cómo iban a ser reconocido.)

La ecuación diferencial $f'(x) = A(x) f(x)^\beta$ puede ser resuelto de forma explícita, por separación de variables. El cálculo muestra que $f(a)=0$ es necesario, o podríamos escribir nada cero soluciones, mediante la resolución de la ecuación. Esto confirma aún más el análisis, porque superficialmente el problema se ve como una condición de Lipschitz con $|f(x) - f(y)| \leq |x-y|^\beta$ (como es bien conocido, y a menudo se resuelve como un ejercicio) implica la constante $f$ al $\beta > 1$.

El DE la constante $\beta > 1$, escribir $y$$f(x)$, es $$ d(\frac{1}{(\beta - 1)y^{\beta - 1}}) = A(x) dx$$

Las coordenadas que le restan importancia a la ecuación son, por tanto,$Y = \frac{1}{(\beta - 1)y^{\beta - 1}} $$X = \int A(x) dx$, en los que las soluciones se $Y = X + c$ constante $c$. Esto hace resaltar la idea de que $A$, lo que parece al principio ser un inofensivo constante extraíble por un cambio lineal de variables, tiene un rol significativo en el problema, como la velocidad de la variable independiente.

En virtud de este cambio de coordenadas, $f(a)=0$ hace $f(a)=\infty$. En un máximo de intervalo en que se $f$ es distinto de cero, no hay soluciones que afectó a infinito en el límite finito de "tiempo" (aquí $X$ es de tiempo, así que nos referimos a un número finito de variación en$\int A(x) dx$), mientras que la satisfacción $Y - X = $ constante.

Así que el significado del problema parece ser: no hay singularidad se puede llegar en tiempo finito para esta ODA.

Answer 3

Suponiendo que f (x) = 0 sólo para una y que f (x) > 0 para el resto x en [a, b].

Entonces lim (f (x) - f(a))/(x-a) x-> + voluntad ser mayor o igual a cero. Si es mayor entonces f'(a) = m > 0 y que de la contradicción con la desigualdad dada. Por lo tanto f (x) = 0 para todo x en [a, b]. Si igual, entonces im sorry pero necesito darle un pensamiento más. De la misma manera, se puede demostrar para f (x) < 0.

Acaba de publicar este cuz insuficiente respuesta que pensé que sería más sencillo de entender.