Sé que los grupos de Weyl de álgebras de Lie afines no tienen un elemento más largo, pero son hay alguna buena sustitutos de w_0. ¿En particular, hay cualquier buen sustituto para una menor descomposición del elemento más largo?
Respuestas
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Gaz Davidson
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Si se considera sólo un grupo de Weyl, entonces supongo que no hay nada en sustitución de la más larga del elemento (por supuesto, cada elemento tiene también una reducción de la descomposición, aunque).
Sin embargo, como se ha señalado por Greg Muller, hay algunas situaciones cuando no existe una buena analógica, es decir, en la teoría de los edificios gemelos. Por ejemplo, si usted se considera un semisimple algebraicas grupo G, definida sobre un campo K, entonces G(K[t,t^(-1)]) actúa sobre dos afín a los edificios, que son los edificios asociados a G(K((t)) ) y G( K((t^(-1))) ). Entonces hay algo que se llama "codistance" entre las cámaras de estos dos edificios. Dos cámaras en codistance 1 se llama "opuesto". Esta oposición relación comparte el mismo tipo de bienes, y realmente debe ser pensado como un análogo de la oposición en relación finita edificios y Coxeter complejos.
Si nos fijamos en la sección 4 de Thomas Lam y de Pavlo Pylyavskyy reciente preprint, estudian palabras infinitas reducidas en W, modulo relaciones trenza y conmutación. Este es un buen sustituto para una reducida palabra para la palabra larga en el contexto de la positividad total, como explican. Creo que también debería ser útil en el contexto de las bases canónicas.
Owen
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2951
Aquí hay otra noción de una reducción de la descomposición de la palabra larga, como se utiliza, por ejemplo, en un reciente preprint de Baumann, Kamnitzer y Tingley.
Recordar el teorema de la finitos tipo de caso de que la reducción de las descomposiciones de w0 están en bijection con convexa de orden en el conjunto de raíces positivas. La última noción es más fácil generalizar, y puede ser considerado un adecuado analógica.
Definición: Un convexo de orden en el conjunto de todos los positivos raíces Φ+ es un preorden ≤ tal que
i) Para todo α, β en Φ+, hemos α ≤ β o β ≤ α (O no XOR).
ii) Si α ≤ β α+β es una raíz, entonces α ≤ β+α ≤ β.
iii) Si α ≤ β β ≤ α entonces α y β son proporcionales.
Voila.
Scott Saad
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247
No sé mucho sobre esto, pero he oído que en la teoría de los 'edificios' (complejos de simplicial agradable en que Coexeter actúan de grupos), los grupos de Weyl afines actúan naturalmente en 'edificios gemelos', un par de espacios con una noción de distancia entre ellos. Estoy bajo la impresión de un mapa que cambia los dos edificios es un buen análogo de la palabra más larga.
