Sé que por el problema de los cumpleaños, incluso después de 365 amigos, vas a tener muchos dobles y que también hay una posibilidad infinitesimal de que incluso con infinitos amigos quede un día fuera. Pero tenía curiosidad por saber cuántos amigos necesitarías de media para tener todos los días representados (esto ignorando los días bisiestos y asumiendo que los cumpleaños se distribuyen por igual). O para generalizarlo más, dadas n casillas únicas y colocando bolas en ellas con una probabilidad igual de 1/n de que la bola entre en cualquier casilla, ¿cuántas bolas tendrías que colocar de media para que cada casilla tuviera al menos una bola?
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Respuesta
¿Demasiados anuncios?
sewo
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Esto se conoce como el el problema del coleccionista de cupones En este caso, los cupones son los de los cumpleaños.
Si sigues añadiendo amigos uno a uno hasta que tengas uno con cada cumpleaños, tardarás 1 amigo hasta que tengas el amigo con un cumpleaños. Después del primer amigo, cada nuevo amigo tiene una probabilidad de $\frac{364}{365}$ de cumpleaños que aún no has visto, y el esperado número de amigos por los que hay que pasar hasta ver un nuevo cumpleaños es el recíproco de esa probabilidad, es decir $\frac{365}{364}$ . Después de esto, el número esperado de amigos hasta que vea el tercera cumpleaños único es $\frac{365}{363}$ y así sucesivamente.
La idea clave aquí es que una vez que has visto, digamos, 42 cumpleaños diferentes, el número esperado de amigos más que tienes que inspeccionar hasta que veas un nuevo cumpleaños no depende de cuántos amigos te costó llegar a los 42, por lo que podemos calcular la expectativa de cada espera del próximo cumpleaños por separado y simplemente sumarlas.
El número total esperado de amigos hasta que haya visto todos los cumpleaños es $$ 1+\frac{365}{364}+\frac{365}{363}+\cdots+\frac{365}{2}+\frac{365}{1} = 365\left(\frac1{365}+\frac1{364}+\frac1{363}+\cdots+\frac12+1\right)=365 H_{365} $$ donde $H_{365}$ es el 365º número armónico que es aproximadamente $\ln(365)+0.577$ (el término añadido es el Constante de Euler-Mascheroni ).
Por lo tanto, se necesita alrededor de $365\cdot(\ln(365)+0.577)=2364$ amigos.
Si tomamos días bisiestos (pero sigue suponiendo que todos los cumpleaños, excepto el 29 de febrero, están distribuidos uniformemente y que la probabilidad de nacer el 29 de febrero es $\frac{0.25}{365.25}$ ), las cosas empiezan a ser más complejas.
Para calcular el tiempo previsto hasta todos los demás días que el 29 de febrero, los numeradores de la primera suma se convierten en $365.25$ en lugar de $365$ , por lo que esta expectativa es $\frac{365.25}{365}2364 \approx 2366$ . No es una gran diferencia, por lo que la principal corrección proviene del riesgo que no lo hará han visto ningún 29 de febrero para cuando todos los demás días han sido golpeados.
Podemos estimar el riesgo de que esto ocurra de forma cruda como $(\frac{365}{365.25})^{2364}\approx 0.1982$ -- pero esto no es en absoluto exacto porque (entre otras razones) el promedio que llevó a 2364 no conmuta con la no lineal $x\mapsto (365/365.25)^x$ de la cartografía.
El riesgo exacto es $$ \frac{365}{365.25} \times \frac{364}{364.25} \times \frac{363}{363.25} \times \cdots \times \frac{1}{1.25} = \frac{\Gamma(366)\Gamma(1.25)}{\Gamma(366.25)} \approx 0.2073$$ Es decir, cada vez que esperamos un nuevo cumpleaños el riesgo de que el siguiente nuevo El cumpleaños no será bisiesto.
(Para evaluar los gammas podemos hacer trampa y usar Wolfram Alpha, o usar la aproximación $\Gamma(a+\varepsilon)/\Gamma(a)\approx (a+\frac\varepsilon2-\frac12)^{\varepsilon}$ lo que da mucha precisión aquí y nos permite calcular el riesgo como $\frac{\Gamma(\frac14)}{4 \sqrt[4]{365\frac58}}$ si sólo podemos encontrar $\Gamma(\frac14)$ en una obra de referencia ).
Así que el número esperado de amigos en el escenario de los días bisiestos debería ser $$ 2366 + 0.2073 \frac{365.25}{0.25}\approx 2669 $$
