Demostrar que un espacio métrico compacto puede ser cubierto por las bolas abiertas que don ' t se superponen demasiado.

Question

El problema es: Para espacio métrico compacto $(X,d)$ demostrar que para cada $r>0$ existe un subconjunto $S$ $X$ tal que $\{\mbox{Open balls of radius }r\mbox{ centered at }p \mid\mbox{ for all }p \in S\}$ forma una cubierta para$X$, y para cada $p,q \in S$, $d(p,q) > r/2$.

Tengo un algoritmo que sería así: Forma una cubierta abierta de a $X$ por el conjunto de abrir las bolas de radio $r/2$ alrededor de todos los puntos en $X$. Por compacidad existe un número finito de estas bolas que cubren $X$. Luego, para cada punto con una pelota alrededor de ella, "eliminar" los puntos que están dentro de la pelota y no el centro de la bola. Entonces usted tendrá una colección de puntos que son, al menos, $r/2$ distancia una de la otra y el conjunto de bolas de radio $r$ alrededor de estos puntos se cubren $X$.

¿Este "algoritmo" de trabajo, y si es así ¿cómo se puede denotar un conjunto? Estoy teniendo problemas para averiguar exactamente cómo "eliminar" como he usado la palabra anterior.

Gracias!

Answer 1

La afirmación de que el problema no es tan correcta, ya que le permite elegir un $p,q \in S$ tal que $p=q$, viz. $d(p,q)=0$, así que de aquí adelante asumiremos $p\neq q$. Volvamos al problema de ahora: desde que asumimos la restricción $d(p,q)>r/2$ $S$ es finito, es decir, existe un entero $n\ge 1$ tal que $|S|=n$$S:=\{p_1,p_2,\ldots,p_n\}$. Es bien sabido que las proposiciones:

i) $X$ es totalmente limitada

ii) $X$ es compacto

iii) $X$ es secuencialmente compacto

son equivalentes (la manera más fácil de probar es que (i) implica (ii) implica (iii) implica (i)).

Así, existe un conjunto finito de abiertos bolas $B(x_1,3r/4),B(x_2,3r/4),\ldots,B(x_{k_1},3r/4)$ que cubre todo el espacio métrico compacto $(X,d)$. También podemos suponer sin pérdida de generalidad que $B(x_i,3r/4) \cap X \neq \emptyset$ todos los $1\le i\le k_1$.

Definir $x_1:=\alpha_1$, y también se $X_1:=X\setminus B(x_1,3r/4)$: si $x_1$ está vacío, entonces hemos terminado (ver más abajo), de lo contrario $X_1\neq \emptyset$ es un espacio métrico demasiado, delimitada y cerrada, por lo tanto compacto. Entonces existe un conjunto finito de abiertos bolas $B(y_1,3r/4),B(y_2,3r/4),\ldots,B(y_{k_2},3r/4)$ que cubre $X_1$. Definir $y_1:=\alpha_2$.

Repita este algoritmo infinitamente muchas veces, tenemos dos casos:

1) Si la secuencia de $\alpha_1,\alpha_2,\ldots$ es finito, entonces simplemente defina $p_i:=\alpha_i$ todos los $i$ y ya está, de hecho, $d(p_i,p_j)\ge 3r/4 > r/2$ todos los $1\le i < j \le n$.

2) Si la secuencia de $\alpha_1,\alpha_2,\ldots$ no es finito, entonces la colección infinita de abrir bolas $B(\alpha_1,3r/4),B(\alpha_2,3r/4),\ldots$ es un cover de $X$. Desde $X$ es compacto, existe un conjunto finito de pares distintos números enteros positivos $T:=\{t_1,t_2,\ldots,t_n\}$ tal que $B(\alpha_{t_1},3r/4),B(\alpha_{t_2},3r/4),\ldots,B(\alpha_{t_n},3r/4)$ es una cubierta demasiado. Acaba de establecer $\alpha_{t_i}=p_i$ todos los $1\le i\le n$, y que realmente hizo que nuestra subcover de abrir las pelotas de que "no se superponen demasiado". []