¿Newton ' s "Famoso error"?

Question

En la página $225$ de Isaac Newton en la Certeza Matemática y el Método por Niccolo Guicciardini (ver aquí por un enlace), que he leído

En la siguiente demostración... Newton hizo un famoso error... que Él escribió, "el Caso 1. Cualquier rectángulo como $AB$ aumentó en un continuo movimiento, cuando las dos mitades de los momentos ${1\over 2}a$${1\over 2}b$, se carece de los lados $A$$B$, $A-{1\over 2}a$ multiplicado por el $B-{1\over 2}b$ o $AB-{1\over 2}aB-{1\over 2}bA+{1\over 4}ab$, y tan pronto como los lados $A$ $B$ han aumentado las otras mitades de los momentos; sale $A+{1\over 2}a$ multiplicado por el $B+{1\over 2}b$ o $AB+{1\over 2}aB+{1\over 2}bA+{1\over 4}ab$. Restar el ex rectángulo a partir de este rectángulo, y no quedará el exceso de $aB+bA$. Por lo tanto, por el total de los incrementos de $a$ $b$ de los lados, no se genera el incremento de $aB+bA$ del rectángulo. Q. E. D."

Este razonamiento parece estar perfectamente bien a me $-$ ¿que es el "trascendental " error"?

Answer 1

No estoy seguro acerca de mi "interpretación" de la discusión anterior, pero voy a probar con un "comentario largo".

Newton no hacer un "algebraica" error.

Tenemos :

$(A+a/2)(B+b/2) = AB + aB/2 + bA/2 + ab/4$

y :

$(A−a/2)(B−b/2) = AB - aB/2 - bA/2 + ab/4$;

por lo tanto :

$(A+a/2)(B+b/2) - (A−a/2)(B−b/2) = aB + bA$.

El problema surge en el "geométrica" la interpretación [lo siento, pero no soy capaz de dibujar las figuras ...].

(i) Si dibuja un rectángulo $A \times B$ dentro del rectángulo $(A + a) \times (B + b)$, se tiene que el área de la diferencia entre los dos (el llamado gnomon), será :

$(A + a)(B + b) - AB = aB + bA + ab$.

Por lo tanto, en este caso, es no cierto que el "total de los incrementos de la $a$ $b$ de los lados [han] generado por el incremento en el $aB+bA$ del rectángulo".

(ii) Pero Newton hizo de una manera diferente.

Él dibuja tres rectángulos: $A \times B$ con el exterior es el rectángulo $(A + a/2) \times (B + b/2)$ y dentro de ella el rectángulo $(A - a/2) \times (B - b/2)$.

Ahora, si queremos calcular el gnomon descrito por el "exterior" y el "interior" de una, tenemos que :

$(A+a/2)(B+b/2) - (A−a/2)(B−b/2) = aB + bA$;

Me refiero a que podemos comprobar que "geométricamente" y no sólo de manera algebraica.

Este es el de Newton "truco": "probar" geométricamente que el plazo $ab$ puede ser desechado. Él ha sido capaz de hacer "desaparecer" el deseado de segundo orden "infinitesimal". Por supuesto, la clave de la prueba radica en su "interpretación" ...

Tenemos que recordar que él no habla de "infinitesimal", contra Leibniz; al mismo tiempo, N "fundamentos" de su fluxional cálculo son al menos "discutible" (como Leibniz), y que fueron objeto de debate.

Ver en este sentido Jacob Walton's panfletos en respuesta a George Berkeley El Analista (1734); en Una Reivindicación de Sir Isaac Newton [...] (1735) hay una larga y complicada discusión tratando de justificar N de la prueba.

Véase también Carl Boyer, La Historia del Cálculo y Su Desarrollo Conceptual (1949 - Dover reimpresión), páginas 198-199, por sus comentarios sobre el N de la prueba.

Answer 2

Este razonamiento parece estar perfectamente bien para mí − ¿qué es la "trascendental " error"?

Idealmente, Guicciardini habría elaborado en eso, entonces yo no tendría que adivinar.

Si el propósito de la sección es establecer la diferenciabilidad de un producto de funciones diferenciables y el producto de la regla, entonces Newton argumento tiene el problema de que se calcula (más o menos)

$$\frac{A\left(x+\frac{h}{2}\right)B\left(x+\frac{h}{2}\right) - A\left(x-\frac{h}{2}\right)B\left(x-\frac{h}{2}\right)}{h},$$

y como todos sabemos, la existencia de

$$\lim_{h\downarrow 0} \frac{F\left(x+\frac{h}{2}\right) - F\left(x-\frac{h}{2}\right)}{h}$$

no implica la diferenciabilidad de $F$$x$.

Si la diferenciabilidad de que el producto se supone o se ha demostrado de una manera diferente, el argumento es correcto para encontrar el producto de la regla.