Tira un dado repetidamente hasta obtener 6 y luego contar el número de 3s tengo. ¿Lo que ' s mi número esperado de 3s?

Question

Considere el siguiente experimento. Me lanza un dado varias veces hasta que el morir devuelve 6, luego me cuente el número de veces 3 apareció en el azar de la variable $X$. ¿Cuál es $E[X]$?

Pensamientos: espero que me tira el dado de 6 veces antes de 6 aparece (esta parte es geométrica), y en los últimos 5 rollos de cada rollo tiene un $1/5$ ocasión de la devolución de un 3. El tratamiento de esta como la binomial, por tanto, espero contar 3 una vez, por lo que $E[X]=1$.

Problema: no sé cómo modelar este problema matemáticamente. Las sugerencias se agradece.

Answer 1

Podemos limitarnos a dados arroja los resultados $ de $3 y $6$. Entre estos lanzamientos, ambos resultados son igualmente probables. Esto significa que el índice $Y$ de la $ $6 primera es geométricamente distribuidos con parámetro $\frac12$, por lo tanto $\mathbb {E} (Y) = 2$. La cantidad de $3$ s que se produce antes de la primera $ $6 es igual a $Y-1$ y tiene valor esperado $1$.

Answer 2

Hay infinitas maneras de resolver este problema, aquí es otra solución que me gusta.

Que $A = \{\text{first es} 6\} $, $B = \{\text{first es} 3\} $, $C = \{\text{first es ni} 3\text {ni} 6\} $. Entonces $$ E [X] = E [X| A]P(A) + E [X| B] P (B) + E [X| C] P(C) = 0 (E [X] + 1) \frac16 + E [X] \frac46, $$ donde $E [X] = 1$.

Answer 3

$X_i$ a ser el indicador de la variable aleatoria que cuenta con un 3 en rollo $i$, que en particular implica que usted no deje de antes de rollo $i$. Para hacer esto, usted necesita un no-seis en $i-1$ rollos, y tres en el último censo. Por lo tanto $$E(X_i)=\left(\frac{5}{6}\right)^{i-1}\left(\frac{1}{6}\right)$$ $\sum X_i$ es el número total de tríos de rodar. Por la linealidad de la expectativa, $$E\left(\sum X_i\right)=\sum E(X_i)=\frac{1}{6}\sum_{i\ge 1} \left(\frac{5}{6}\right)^{i-1}=\frac{1}{6}\sum_{j\ge 0} \left(\frac{5}{6}\right)^{j}=\frac{1}{6}\frac{1}{1-\frac{5}{6}}=1$$

Answer 4

Resulta ser simple. Tirar el dado hasta llegar a una primera $3$ $ o $6. Entonces si tienes un $6$, la mitad del tiempo, dejas con un valor de $0$. De lo contrario, repite, y el número esperado de tres dados los tres primeros es $1+E(X)$. Por lo que el valor esperado de $X$ es:

$$ E (X) = \frac {1} {2} \cdot 0 + \frac{1}{2}(1+E(X)) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}E(X)$ $

$E tan (X) = 1$.

Answer 5

Vamos a $Y$ el número de veces que el dado es lanzado. Entonces $$ Y sigue una distribución geométrica con parámetro $\frac16$.

Tenemos $\mathbb{E}(Y) = 1 + 5 \mathbb{E}(X)$, ya que para los primeros $Y 1$ rollos cada uno de los resultados $1$, $2$, $3$, $4$, $5$ tiene la misma probabilidad.

Es de la siguiente manera (usando que una distribución geométrica con parámetro p $$ $\frac{1}{p}$) que $$ 1 + 5 \mathbb{E}(X) = \mathbb{E}(Y) = 6 $$ por lo que $\mathbb{E}(X) = 1$.