Matrices con valores 0 y 1

Question

¿Cómo se puede describir todos los $2\times 2$ matrices cuyos autovalores son 0 y 1?

Mi intento: Sé que 0 y 1 tiene que ser las soluciones del polinomio característico. Y he considerado algunos ejemplos como $$\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix} \text{ etc.}$$but I haven't found any regularity. But I also know from linear algebra that a matrix $Un$ satisfying $^2=$ sólo tiene autovalores 0 y/o 1. Hay más de matrices? ¿Qué tienen que satisfacer?

Answer 1

Considere la posibilidad de una matriz $$ \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} $$ Usted puede fácilmente averiguar el polinomio característico, que es $$ X^2 - (a+d)X + (ad-bc) $$ Basado en su información, usted tiene $$ \begin{cases} a+d=1 \\ ad-bc=0 \end{casos} $$ porque en un polinomio $X^2+pX+q$ la suma de las raíces es $-p$ y su producto es $q$.

Esto le da a $d=1-a$, lo $a-a^2-bc=0$ o $bc=a-a^2$. Así, el usuario puede elegir arbitrariamente $a$. Si $a=0$ o $a=1$, entonces uno entre $b$ $c$ debe ser cero y el otro es arbitraria. Para $a-a^2\ne0$, las matrices usted busca tener la forma $$ \begin{bmatrix} a & b \\ \dfrac{a-a^2}{b} & 1-a \end{bmatrix} $$ Por lo que la forma general es uno de estos cinco casos

1. $\begin{bmatrix}0 & b \\ 0 & 1\end{bmatrix}\quad$ (arbitrario $b$)

2. $\begin{bmatrix}0 & 0 \\ c & 1\end{bmatrix}\quad$ (arbitrario $c$)

3. $\begin{bmatrix}1 & b \\ 0 & 0\end{bmatrix}\quad$ (arbitrario $b$)

4. $\begin{bmatrix}1 & 0 \\ c & 0\end{bmatrix}\quad$ (arbitrario $c$)

5. $\begin{bmatrix} a & b \\ \dfrac{a-a^2}{b} & 1-a \end{bmatrix}\quad$ ($\ne0$, $\ne1$, $b\ne0$)

Answer 2

Dado que los valores propios son 0 y 1 (por lo tanto distinta), la matriz debe ser diagonalizable. Por ello, debe ser de la forma $P^{-1}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}P$ para algunos es invertible la matriz de $P$. Como hay una buena fórmula explícita para la función inversa de a $2 \times 2$ matriz, se puede trabajar de la forma de la matriz de dicho formulario. Tome $P = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ donde $\det P = ad-bc \ne 0$, a continuación, escriba $P^{-1}$, y, a continuación, calcular.

EDIT: estoy asumiendo que significa que el conjunto de eignevalues de su matriz debe ser $\{0,1\}$, en lugar de ser incluida en este conjunto, que es lo que Sharkos supone. Así que depende de lo que pretende.

Answer 3

Suponiendo que se excluyen de las matrices de tener complejo de autovalores pero no real de los autovalores (lo que parece razonable dada su pregunta) hacemos uso de la forma normal de Jordan de la matriz.

Hay algunos invertible la matriz de $P$ (un cambio de base) tales que

$$A = P^{-1} J P$$

donde $J$ está en forma normal de Jordan con $0$ o $1$ en la diagonal. En particular,

$$J = \pmatrix{0 & 0 \\ 0 & 0}, \pmatrix{1 & 0 \\ 0 & 1}, \pmatrix{1 & 0 \\ 0 & 0}, \pmatrix{0 & 1 \\ 0 & 0}, \pmatrix{1 & 1 \\ 0 & 1}$$

generar todas las otras formas de estas matrices.

• El primer caso ha $A=0$.
• El segundo caso ha $A=I$.
• El tercer caso es un cambio de la base de tener uno de cada autovalor; es una proyección sobre una línea.
• El cuarto caso es el de una nilpotent matriz tal que $A^2=0$. Se asigna una dirección a otra, y que la dirección en el olvido.
• El quinto caso se genera un sesgo/cortante en una dirección.

Answer 4

Esta es una respuesta parcial en el que sugiere cómo definir parámetros tales matrices de forma explícita.

Las otras respuestas son más elegante y contar la historia de forma más sucinta, pero que construir las respuestas no de forma exclusiva. (Hay diferentes matrices que se pueden conjugar una determinada forma normal de Jordan y obtener el mismo matrices: $P^{-1} J P = Q^{-1} J Q$ es posible con $P \ne Q$.)

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Primero un poco de resultado sobre el polinomio característico $p_A(\lambda) = \det(A - \lambda I)$ $2 \times 2$ matriz $A$: $$ p_A(\lambda) = \lambda^2 - (\operatorname{tr}) \lambda + \det a, $$ donde $\operatorname{tr} A = a + d$ es la traza. Marque esta a partir de la definición si usted no está familiarizado con ella.

Ahora, continúe por casos. Supongamos que $\lambda = 1$ es el único autovalor.A continuación, $$ p_A(\lambda) = (\lambda - 1)^2 = \lambda^2 - 2\lambda + 1. $$ Así, sabemos que $$ \left\{ \begin{align} \operatorname{tr} A &= 2 \\ \det A &= 1 \end{align} \right. $$ Con $$ A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}, $$ $$ \left\{ \begin{align} a + d &= 2 \\ ad - bc &= 1 \end{align} \right.. $$ Aprovechando la traza de la ecuación para reducir el número de parámetros, vamos a hacer la sustitución de $a = 1 + t$$d = 1 - t$. Ahora el determinante de la ecuación se convierte en $(1 + t)(1 - t) - bc = 1$ o $$ bc = t^2. $$ Cualquiera de las $b = 0$, en cuyo caso, $t = 0$, $c$ es libre de tomar cualquier valor: $$ \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ c & 1 \end{bmatrix}. $$ O $b \ne 0$, lo $c = -\frac{t^2}{b}$, por lo tanto tenemos: $$ \begin{bmatrix} 1 + t & b \\ -\tfrac{t^2}{b} & 1 + t \end{bmatrix}. $$

El espacio de las posibilidades, en $(b, c)$-plano consta de dos ejes (correspondiente a tener $t = 0$, por lo tanto $1$ en la diagonal), junto con el segundo y cuarto cuadrantes (correspondiente a $t \ne 0)$.

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Un análisis similar se puede dar una descripción explícita de los otros casos de las posibilidades de los autovalores. (Tenga en cuenta que esta idea se generaliza más allá de su $\lambda \in \{0, 1\}$ suposición.)

Answer 5

Si una matriz $A\in\mathbb{C}^{n\times n}$ sólo tiene autovalores $0$ y $1$, entonces su polinomio característico es de la forma $$ z^{a}\left(z-1\right)^{b}=z^{a}\sum_{k=0}^{b}\left(\begin{array}{c} b\\ k \end{array}\right)z^{k}\left(-1\right)^{n-k}=\sum_{k=0}^{b}\left(\begin{array}{c} b\\ k \end{array}\right)z^{a+k}\left(-1\right)^{n-k} $$ con $a+b=n$. Una matriz que tiene la anterior polinomio característico es $$ B=\left[\begin{array}{cccccc} 0 & & & & & -c_{0}\\ 1 & 0 & & & & -c_{1}\\ & 1 & 0 & & & -c_{2}\\ & & 1 & \ddots & & \vdots\\ & & & \ddots & 0 & -c_{n-2}\\ & & & & 1 & -c_{n-1} \end{array}\right] $$ donde $$ c_{j}=\begin{cases} 0 & j<a\\ \left(\begin{array}{c} b\\ k \end{array}\right)\left(-1\right)^{n-k} y j\geq un \end{casos}. $$ El de arriba se llama la Frobenius compañero de la matriz a la característica polinomio. Por otra matriz que va a satisfacer este es $B^{T}$ desde $\det\left(X^{T}\right)=\det\left(X\right)$. Tenga en cuenta que $B$ no es una proyección (es decir,$B^2\neq B$).

Obviamente, no todas las matrices que sólo tienen autovalores de a $0$ $1$ son de esta forma. Para ejemplo, $I$ sólo ha $1$ como un valor propio, pero no se puede escribir en el formulario anterior.