Artículo $[1]$ por Alfred van der Poorten es un buen punto de partida, la mejor que conozco.
La velocidad de convergencia de
Me refiero a la "fuerza brutal" por la suma de bolsillo o en una computadora, el
fórmula original de $\zeta(3)$.
Se sabe que la serie converge muy lentamente. Apéry racional aproximación $a_n/b_n$ a continuación, se mejora la velocidad de convergencia a $\zeta(3)$, mientras que el control del aumento del tamaño de $b_n$.
Apéry se expresa de la siguiente igualdad:
$$\zeta (3)\overset{\mathrm{def}}{=}\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^{3}}=\frac{5}{2}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n^{3}\binom{2n}{n}}.\tag{1}$$
En la sección 3 de van der Poorten muestra que
$$\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{n^{3}}+\sum_{k=1}^{N}\frac{(-1)^{k-1}}{2k^{3}\binom{N}{k}\binom{N+k}{k}}=\frac{5}{2}\sum_{k=1}^{N }\frac{(-1)^{n-1}}{k^{3}\binom{2k}{k}},\tag{2}$$
a partir de que $(1)$ sigue dejando $N$ tienden a infinito (ver esta respuesta de la mina). La fórmula $(2)$ no es muy intuitiva, aunque.
El segundo de la serie en $(1)$ es un rápido convergente la serie, más rápido de lo que la definición de la serie para la Apéry constante de $\zeta(3)$. Hay incluso más rápido convergente de la serie, obtenido por técnicas de aceleración de la convergencia.
La prueba de la irracionalidad
Tan lejos como la irracionalidad de las preocupaciones, Apéry construido dos secuencias $(a_n),(b_n)$ $^1$ cuya relación de $a_n/b_n\to\zeta(3)$ y
- $2(b_{n}\zeta (3)-a_{n})$ satisface $\lim\sup \left\vert 2(b_{n}\zeta (3)-a_{n})\right\vert^{1/n}\le(\sqrt{2}-1)^4 $.
- $b_{n}\in \mathbb{Z},2(\operatorname{lcm}(1,2,\ldots ,n))^{3}a_{n}\en
\mathbb{Z}$.
- $\left\vert b_{n}\zeta (3)-a_{n}\right\vert >0$.
Esto es suficiente para demostrar la irracionalidad de la $\zeta (3)$ por la contradicción. $[2]$.
La intuición
Dado que en van der Poorten las palabras
Aquellos que escuchó casualmente, o que fueron afectados con el hecho de ser
no Francófonos, parecía escuchar sólo una secuencia de raro
la afirmación.
es natural preguntarse: ¿Dónde estas ideas? Mi tentativa de explicación se basa en el siguiente hecho. Unos años más tarde, después de su prueba de $[3]$, Roger Apéry derivados de la aproximación racional $a_n/b_n$ $\zeta(3)$mediante la transformación de la definición de la serie de $\zeta(3)$ en la continuación de la fracción y la aplicación iterada transformaciones, que mejora la velocidad de convergencia, y se obtuvieron las relaciones de recurrencia satisfecho por $a_{n},b_{n}$ $[4]$.
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$^1$ De las secuencias $$\begin{equation*}
a_{n}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}^{2}\binom{n+k}{k}^{2}c_{n,k},
\qquad b_{n}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}^{2}\binom{n+k}{k}^{2},\end{ecuación*}$$
donde
$$\begin{equation*}
c_{n,k}=\sum_{m=1}^{n}\frac{1}{m^{3}}+\sum_{m=1}^{k}\frac{\left( -1\right)
^{m-1}}{2m^{3}\binom{n}{m}\binom{n+m}{m}}\quad k\leq n.
\end{ecuación*}$$
Las referencias.
$[1]$ Poorten, Alf., Una Prueba de que Euler Perder..., Apéry la prueba de la irracionalidad de la $\zeta(3)$. Un informe informal, Matemáticas. Intelligencer 1, nº 4, 1978/79, pp 195-203.
$[2]$ Fischler, Stéfane, Irrationalité de valeurs de zêta (d' après Apéry, Rivoal, ...), Seminario Bourbaki 2002-2003, exposé nº 910 (nov. 2002), Astérisque 294 (2004), 27-62
$[3]$ Apéry, Roger (1979), Irrationalité de $\zeta2$ et $\zeta3$, Astérisque 61: 11-13
$[4]$ Apéry, Roger (1981) Interpolaciones de Fracciones Continúa et Irrationalité de las Constantes, Bull. sección des sciences du C. T. H. S., n.º3, p.37-53
