La Wikipedia define el campo de fracciones de un dominio como
El campo de fracciones de campo o de cocientes de un integrante del dominio es el "más pequeño" campo en el que puede ser incorporado.
¿Qué significa "menor" significa matemáticamente en este contexto? Es posible incrustar un integrante de dominio en dos campos diferentes, que no tienen elementos en común?
"Más pequeño" significa, en esencia, que satisface las siguientes universal de los bienes: si $R$ es un dominio, y $K$ es cualquier campo para el cual existe un inyectiva anillo homomorphism $f:R\to K$, entonces no es un anillo único homomorphism $g:\text{Frac}(R)\to K$ tal que $f=g\circ i$ donde $i$ es la inclusión natural de $R$ en su fracción de campo $\mathrm{Frac}(R)$.
Como de costumbre para un universal de la propiedad, el objeto que satisface es la única hasta el único isomorfismo. Por lo tanto, si $L$ es un campo en el que $R$ incrusta, y $L$ tiene la propiedad de que $L$ incrusta en cualquier otro campo en el que $R$ incrusta (este es el sentido de "más pequeño"), a continuación, $L$ necesariamente va a ser isomorfo a $\mathrm{Frac}(R)$.
Para la exhaustividad, ¿por qué no seguir adelante y ser una prueba de la universalización de la propiedad.
Deje $R$ integrante de dominio, $K$ su campo de fracciones y $\varphi: R \rightarrow F$ en un inyectiva homomorphism en algún campo $F$. Considerar el mapa de $\tilde{\varphi}: K \rightarrow F$$\tilde{\varphi}(a/b)=\varphi(a)/\varphi(b)$. Pretendemos que este mapa es en realidad también un inyectiva homomorphism. Primera nota de que el mapa está bien definida debido a $F$ es un campo para cada elemento en $F$ tiene una inversa. Desde $\varphi$ es un homomorphism $\tilde{\varphi}$ es de $0_K$$0_F$$1_K$%#%. A ver aditividad tenemos $1_F$
$$\tv\left(\frac{a}{b}+\frac{c}{d}\right)=\tv\left(\frac{ad+bc}{bd}\right) =\frac{\varphi(ad)+\varphi(bc)}{\varphi(bd)}=\frac{\varphi(a)}{\varphi(b)}+\frac{\varphi(c)}{\varphi(d)}=\tv\left(\frac{a}{b}\right)+\tv\left(\frac{c}{d}\right).$$ La multiplicación es aún más sencillo $\newcommand{\tv}{\tilde{\varphi}}$$ De inyectividad se sigue inmediatamente debido a $$\tv\left(\frac{ac}{bd}\right)=\frac{\varphi(a)\varphi(c)}{\varphi(b)\varphi(d)}=\tv\left(\frac{a}{b}\right)\tv\left(\frac{c}{d}\right).$ es un campo. Finalmente, $K$ es la única extensión de $\tv$. Deje $\varphi$ ser otra extensión de $\psi: K \rightarrow F$$\varphi$. A continuación, para $\psi|_R=\varphi$
$b \in R \setminus \{0\}$$
por lo $$1=\psi(b/b)=\psi(b)\psi(1/b)=\varphi(b)\psi(1/b)$ y vemos que $\psi(1/b)=1/\varphi(b)$.
Tanto como me gusta categorías, functors, adjoints, y propiedades universales, me siento obligado a señalar que los campos de fracciones y la descripción citado de Wikipedia estaban a su alrededor antes de categorías, etc., fueron inventados. A la vieja usanza (es decir, pre-categórica) la explicación de la "más pequeño" podría decir que cada vez que un campo de $K$ contiene (como un sub-anillo) una copia de $R$, entonces también debe contener una copia de la fracción de campo $F$$R$. (También podría decir que esta incorporación de la $F$ $K$ puede ser elegido para extender el dado por la incorporación de la $R$$K$, y que, a continuación, la incrustación es único, pero no estoy seguro de si pre-categoría de la gente hubiera incluido esta última parte.)
Se entiende en el sentido de la categoría de teoría. El campo de fracciones es un functor de integral dominios (con inyectiva homomorphisms) a los campos (con campo homomorphisms), que queda adjunto a la olvidadizo functor. Esto significa: Si $R$ es una parte integral de dominio, entonces no es un canónica inyectiva homomorphism $R \hookrightarrow Q(R)$, y si $F$ es un campo y $R \to F$ es un inyectiva homomorphism, entonces existe un único homomorphism de los campos de $Q(R) \to F$ de manera tal que la obvia diagrama de desplazamientos. O en otras palabras: Al $R$ está incrustada en un campo, entonces en realidad esta incrustación de los factores a través de la canónica de la incrustación de $R$ a $Q(R)$, por lo que el $Q(R)$ es el más pequeño de incrustar.
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