Hardy Desigualdad para las Integrales

Question

Estoy tratando de demostrar Hardy Desigualdad para las integrales:

Deje $f:(0,\infty) \rightarrow \mathbb R$$L^p$. Deje $F(x) = \frac{1}{x} \int_0 ^x f(t)dt$. A continuación,$F \in L^p$$\|F\|_p \leq \frac{p}{p-1} \|f\|_p$.

He visto pruebas de esto que el uso de Haar medida y el análisis de Fourier, por ejemplo. aquí Una desigualdad por Hardy. Sin embargo, me pregunto si hay una forma más elemental de la prueba.

He tratado de deducir esto usando la desigualdad de Jensen y el Teorema de Fubini de la siguiente manera:

Jensen desigualdad implica que $\left|\frac{1}{x} \int_0 ^x f(t)dt)\right|^p \leq \frac{1}{x} \int_0 ^x |f(t)|^p dt$. Por lo tanto

$$\int_0 ^\infty |F(x)|^p dx \leq \int_0 ^\infty \frac{1}{x} \int_0 ^x |f(t)|^p dtdx = \int_0 ^\infty \int_t ^\infty \frac{1}{x} |f(t)|^p dx dt.$$

Pero, esta última integral es infinito, y no estoy seguro de cómo obtener una mayor nitidez de ruedas en $|F(x)|^p$. Alguna sugerencia?

Answer 1

Espectáculo $$\left(\int_0^\infty \left| \frac1x \int_0^x f(t) \, dt\right|^p \, dx \right)^{1/p} \le \frac p{p-1} \left(\int_0^\infty |f(x)|^p \, dx \right)^{1/p}$$ Aviso $$ \frac1x \int_0^x f(t) \, dt = \int_0^1 f(x t) \, dt $$ Aplicar la desigualdad de Minkowski (versión integral) para el lado izquierdo, para ver que está acotada arriba por $$ \int_0^1 \left(\int_0^\infty |f(xt)|^p \, dx \right)^{1/p} \, dt = \int_0^1 t^{-1/p} \, dt \left(\int_0^\infty |f(x)|^p \, dx \right)^{1/p} $$

Answer 2

Deje $p\in (1,+\infty)$ $q$ su conugate exponente, es decir, el número real $q$ tal que $\frac 1p+\frac 1q=1$. Deje $f\colon (0,+\infty)\to\mathbb R\in L^p(0,+\infty)$ y $F(x)=\frac 1x\int_{\left]0,x\right[}f(t)dt$. A continuación,$F\in L^p(0,1)$$\lVert F\rVert_{L^p}\leq q\lVert f\rVert f_{L^p}$.

Pick $0<\alpha<\frac 1q$, vamos a specifie más tarde. Empezar a usar la desigualdad de Hölder \begin{align*} |xF(x)|&=\left|\int_{\left]0,x\right[}f(t)t^{\alpha}t^{-\alpha}dt\right|\\ &\leq \left(\int_{\left]0,x\right[}\left| f(t) t^{\alpha}\right|^pdt\right)^{\frac 1p} \left(\int_{\left]0,x\right[}t^{-q\alpha}\right)^{\frac 1q}\\ &=\left(\int_{\left]0,x\right[}\left| f(t)\right|^p t^{p\alpha}dt\right)^{\frac 1p} \left(\frac 1{1-q\alpha}x^{1-q\alpha}\right)^{\frac 1q}\\ &=(1-q\alpha)^{-\frac 1q}\left(\int_{\left]0,x\right[}\left| f(t)\right|^p t^{\frac 1{q}}dt\right)^{\frac 1p}x^{\frac 1q-\alpha}, \end{align*} por lo tanto \begin{align*} |F(x)|&\leq (1-q\alpha)^{-\frac 1q}\left(\int_{\left]0,x\right[}\left| f(t)\right|^p t^{p\alpha}dt\right)^{\frac 1p}x^{\frac 1q-\alpha -1}\\ &=(1-q\alpha)^{-\frac 1q}\left(\int_{\left]0,x\right[}\left| f(t)\right|^p t^{p\alpha}dt\right)^{\frac 1p}x^{-\alpha -\frac 1p} \end{align*} y $$|F(x)|^p\leq (1-q\alpha)^{-\frac pq}\int_{\left]0,x\right[}\left| f(t)\right|^p t^{p\alpha}dt x^{-p\alpha-1}.$$ La integración y el uso del teorema de Fubini, obtenemos

\begin{align*} \int_{(0,+\infty)}|F(x)|^pdx&\leq (1-q\alpha)^{-\frac pq}\int_{(0,\infty)}\int_{(0,x)} \left| f(t)\right|^p t^{p\alpha}x^{-p\alpha-1}dtdx\\ &=(1-q\alpha)^{-\frac pq}\int_{(0,+\infty)}\int_{(t,+\infty)}\left| f(t)\right|^p t^{p\alpha}x^{-p\alpha-1}dxdt\\ &=(1-q\alpha)^{-\frac pq}\int_{(0,+\infty)}\left| f(t)\right|^p t^{p\alpha}\left(\int_{(t,+\infty)}x^{-p\alpha-1}dx\right)dt, \end{align*} así $$\int_{(0,+\infty)}|F(x)|^pdx \leq(1-q\alpha)^{-\frac pq}\int_{(0,+\infty)}\left|f(t)\right|^p t^{p\alpha}\frac 1{p\alpha}t^{-p\alpha}dt$$ y, finalmente, $$\int_{(0,+\infty)}|F(x)|^pdx\leq (1-q\alpha)^{-\frac pq}(p\alpha)^{-1}\int_{(0,+\infty)}\left| f(t)\right|^p dt.$$ Ahora, tomamos $\alpha:=\frac 1{pq}<\frac 1q$, para obtener $$(1-q\alpha)^{-\frac pq}(p\alpha)^{-1} =(1-\frac 1p)^{-\frac 1t}q= q^{\frac pq}q=q^{1+p\left(1-\frac 1p\right)}=q^p,$$ que da $\lVert F\rVert_{L^p}\leq q\lVert f\rVert_{L^p}$.

Esta cuestión se aborda el caso de la mejor constante.

Answer 3

Dualize - se convierte en $$ \left(\int_0^\infty |F(x)|^p \, dx\right)^{1/p} \le p \left(\int_0^\infty |f(x)|^p \, dx \right)^{1/p} $$ donde $$ F(x) = \int_x^\infty \frac{f(t)}t \, dt $$ W. l.o.g. $f(x) \ge 0$, y w.l.o.g. $F(x) \to 0$ $x \to \infty$. $$ |F(x)|^p = - p \int_x^\infty F'(t) |F(t)|^{p-1} \, dt $$ Sustituir esto en el lado izquierdo de la primera desigualdad, y de invertir el orden de integración $$ - p \int_0^\infty F'(t) |F(t)|^{p-1} \int_0^t \, dx \, dt = p \int_0^\infty f(t) |F(t)|^{p-1} \, dt \le p \|f\|_p \|F\|_p^{p-1} $$ donde la última desigualdad es H\"mayores. Ahora suponga $\|F\|_p$ es finito, y dividir ambos lados por $\|F\|_p^{p-1} $.