Tengo una pregunta sencilla. Estoy tratando de probar que, dado $x^2=y^2$ , $x=y$ o $x=-y$ . Sé exactamente por qué es así; es obvio. Sólo que no tengo claro el formato general de una prueba, así como la forma en que debo escribir específicamente ésta.
Se agradecería cualquier ayuda. Gracias.
@BabakS. Entiendo $|x|=|y| \Longleftarrow x=\pm y$ . Yo sólo sub en $\pm y$ así $|\pm y| = |y|$ . Pero, ¿cómo $|x|=|y| \Longrightarrow x=\pm y$ ? ¿Cómo se puede romper el valor absoluto para obtener una igualdad sin valor absoluto?
$|x|=z\implies x=\pm z$ También tienes que $|y|=\pm y$ . Ahora haz $z=|y|$ y el resultado es el siguiente.
Otro enfoque es observar que $x^2-y^2 = 0$ como un polinomio en $x$ sobre un campo (piense en $y$ como una constante en ese campo) tiene como máximo $2$ raíces (contando multiplicidades) porque tiene grado $2$ . Este hecho básico sobre los polinomios se deduce del hecho de que algunos $w$ ser una raíz de un polinomio equivale a la divisibilidad del polinomio por $x - w$ y dividiendo por $x-w$ hace que el grado disminuya en $1$ por lo tanto, para un grado $n$ polinomio que puedo dividir como máximo $n$ veces hasta conseguir una constante.
Ahora que hemos justificado que las ecuaciones (polinomios de una variable) de grado $2$ sobre un campo tienen a lo sumo dos soluciones, ya que $ x = y$ y $ x = -y$ son dos soluciones (excluyo el caso $y=0$ donde la ecuación tiene sólo la solución cero, pero con multiplicidad $2$ ) que encontramos por pura suerte, sabemos que no hay lugar para más, y demostramos la equivalencia. Como se ha observado en comentarios anteriores, todos estos argumentos son buenos sobre cualquier campo (pero pueden fallar sobre anillos en general).
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
